Теория ошибок измерений физика

Физические величины
связаны между собой определенными
закономерностями. Установление
количественных законов, показывающих,
как меняются одни из измеряемых величин
при изменении других, является одной
из важнейших задач экспериментальной
физики. Поэтому увеличение точности
измерений необходимо для более глубокого
познания закономерностей материального
мира.

Методы
измерения физических величин непрерывно
совершенствуются. Например, в 1675 году
датский ученый Олаф Рёмер впервые нашел
значение скорости света: 215000 км/с. Фуко
в 1862 году в лабораторных условиях измерил
скорость света. У него она получилась
равной 296000 км/с. В 1927 году Майкельсон
получил для скорости света значение,
равное 299796 км/с. Сегодня в физике принято
значение скорости света, полученное в
1957 году: (299793
0,3)
км/с. В случае приближенных расчетов
принимают скорость света равной 3^.10⁸
м/с.

Повышения
точности измерений позволяет обнаружить,
казалось бы, незначительные отступления
от физических законов, которые ранее
упускались из виду. Такого рода поправки
позволяют совершенствовать существующую
теорию и учитывать их при выводе новых
законов. Например, уравнение состояния
идеального газа Менделеева-Клапейрона:

не
могло дать хорошего согласия с
экспериментом, так как не учитывались
собственные размеры молекул и сложный
характер их взаимодействия между собой.
Более детальное рассмотрение этого
вопроса привело к уравнению Ван-дер-Ваальса:

Иногда
установленные новые эмпирические
соотношения позволяют создавать
совершенно новые теории. Например,
закономерности, обнаруженные в спектре
водорода (работы Бальмера, Ридберга,
Ритца), послужили толчком к созданию
теории атома водорода и далее квантовой
механики (работы Бора, Гейзенберга и
др.).

Таким
образом, между практикой и теорией
существует тесная связь, которая приводит
к непрерывному развитию физики, все
глубже и точнее отражающей объективные
закономерности окружающего нас мира.

Между
тем, вследствие неточности измерительных
приборов, неполноты наших знаний,
трудности учета всех побочных явлений
при измерениях неизбежно возникают
ошибки (погрешности). Погрешностью
измерений называют разность между
истинным значением измеряемой величины
и результатом измерений. Теория
погрешностей указывает на то, как следует
вести измерения и их обработку, чтобы
при достоверности результатов допущенные
ошибки были минимальными.

В
процессе выполнения экспериментальных
работ, как в учебных, так и в
научно-исследовательских лабораториях
студенту приходится постоянно измерять
и вычислять различные величины; при
этом важно иметь представление о том,
как правильно оценивать полученный
результат, добиться разумной точности,
уметь найти и оценить ошибку измерения.

Бессмысленно
говорить об абсолютной точности
произведенного измерения. Невозможно
указать точно, например, размер атома
или элементарной частицы, число молекул
в комнате или единице ее объема и т. п.
Можно говорить лишь о той или иной
степени приближенности к искомой
величине, о большей или меньшей ошибке
или погрешности в произведенном
измерении.

В
перечисленных примерах нельзя назвать
точное число, соответствующее размеру
или количеству, потому что эти величины
находятся в состоянии непрерывного
изменения. Отсюда становится ясным,
почему, например, нельзя измерить деталь
с точностью до диаметра атома или число
молекул в комнате до единиц. Однако
диктуемой, как правило, техническими
потребностями этой точности и не
требуется.

Чем
же ограничивается точность измерения,
от чего зависит величина допускаемой
ошибки и каковы ее источники? Сначала
определим понятие ошибки (погрешности)
измерения. Под погрешностью измерения
х
понимают отклонение результата измерения
х
от истинного значения х_ист
измеряемой величины: х
= х
— х_ист.
Эта погрешность выражена в единицах
измеряемой величины и называется
абсолютной
погрешностью
измерения.

Первой
и, к сожалению, достаточно распространенной
причиной ошибок служат так называемые
промахи.
Промахи (грубые погрешности) – это
погрешности, значения которых существенно
превышают ожидаемые при данных условиях.
К ним относятся, например, неверно
поставленные часы или неточно установленный
нуль прибора, неправильная установка
самого прибора (допустим, вертикальная
вместо горизонтальной), неправильно
записанная цифра или неразборчивая
запись в черновике, как следствие,
неверно переписанные данные и т. п.. В
этом случае результат отдельного
измерения резко отличается от результатов
других измерений, выполненных при тех
же условиях. Избежать этого вида ошибок
позволяет серьезная предварительная
подготовка и внимательное продуманное
проведение эксперимента.

Второй
источник трудно контролируемых ошибок
связан с методом измерения, конструкцией
прибора и влиянием незаметных, на первый
взгляд, факторов. Так, изменение длины
деревянной линейки в зависимости от
влажности воздуха или размера металлических
приборов — от температуры, а также
спешащий или отстающий секундомер,
ослабленная пружина весов, растворение
вещества, предназначенного для
спектрального анализа, растворителем,
содержащим искомое вещество и т. п. Во
всех перечисленных случаях допускаемая
ошибка характеризуется отклонением в
какую–либо одну сторону и называется
систематической.
Таким образом, систематическая погрешность
– это составляющая погрешности измерений,
остающаяся постоянной или закономерно
изменяющаяся при повторных измерениях
одной и той же величины.

Для
избежания подобного рода ошибок (сведения
их к минимуму) необходимо тщательно
готовить экспериментальные установки,
приборы и оборудование, исключая
возможные факторы, влияющие на результат;
выбирать методы, позволяющие более
точно определять значения величин.
Приборы и оборудование должны храниться
должным образом и периодически проверяться
(сравниваться с эталоном). Минимальная
относительная
систематическая погрешность определяется
классом
точности
прибора.
Классом точности называется максимальная
абсолютная погрешность прибора,
выраженная в процентах от всей действующей
шкалы прибора. По классу точности прибора
и пределу измерения определяется
абсолютная погрешность. Если измеряемая
величина меньше предела измерения
прибора, то ее относительная ошибка
будет больше класса точности. Абсолютная
систематическая погрешность в некоторых
случаях определяется как половина
цены
наименьшего
деления
шкалы прибора или как половина цены
последней значащей цифры (в случае
цифрового прибора). В случае равномерной
шкалы эта погрешность одинакова для
всех измерений.

Третий
вид ошибок — случайные
ошибки.
Они имеют место всегда при любом
измерении, вызываются различными
причинами и приводят к отклонению
результатов, как в большую, так и в
меньшую сторону. Другими словами,
случайная погрешность измерения –
составляющая погрешности измерения,
изменяющаяся случайным образом при
повторных измерениях одной и той же
величины. Она возникает от многих причин,
каждая из которых в отдельности мало
влияет на результат измерения. К такого
рода ошибкам относятся, например, ошибки,
обусловленные различным прижатием
микрометрического винта или ножек
штангенциркуля, различное положение
глаза при отсчете по шкале и т. п. Вся
статистическая теория погрешностей
связана с изучением и учетом ошибок
именно такого рода.

В
общем случае при измерении любой величины
могут присутствовать все три вида
ошибок, но последний вид будет представлен
всегда.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Измерения. Погрешности измерений

         Неотъемлемой частью всякого эксперимента являются измерения. Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. В учебных лабораториях чаще всего приходится встречаться с прямыми и косвенными измерениями.

         Прямым называется измерение, при котором значением искомой величины находится непосредственно из отсчета по прибору.

         Косвенным – измерение, при котором значение величины находится по формуле как функция других величин.

         При измерении находится не точное, а приближенное значение искомой физической величины, т.е. полученный результат содержит погрешность.

         Источников погрешностей много: несовершенство приборов, наших органов чувств, влиянием внешних факторов, приближенный характер метода, округление при отсчетах и вычислениях и т.д.

         Цель экспериментатора состоит в том, чтобы: 1) определить значение измеряемой величины с возможно меньшей погрешностью; 2) оценить эту погрешность; 3) правильно округлить результат; 4) записать результат в интервальном виде.

Случайные систематические погрешности. Промахи

Рекомендуемые материалы

         Погрешности делятся на случайные, систематические и промахи.

         Случайные – погрешности, знак и величина которых непредсказуемо меняются от опыта к опыту. Они обычно вызываются большим количеством одновременно действующих причин, характер и размер влияния которых на результат измерения мы определить не можем. Так возникают погрешности при взвешивании из-за содрогания установки, не абсолютно одинаковой тщательности взвешивания, при округлении отсчета со шкалы прибора, при не точной форме изучаемого объекта и т.д. При многократном повторении измерения позволяет уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат.

         Систематические  погрешности – это такие, знак и величины которых сохраняются (или меняются закономерным образом) от опыта к опыту. Это погрешности из-за неточной разбивки шкалы приборы; из-за изменения физической величины повышением (понижением) температуры, из-за неоднородности изучаемого объекта и т.д.

         Уменьшить вклад систематических погрешностей в результат измерения нельзя с помощью повторения опыта. Это можно сделать путем совершенствования измерительных приборов, уточнения методики измерений.

         Промахи – грубые ошибки в эксперименте при невнимательности экспериментатора, при резком изменении условий опыта. Измерения, содержащие промахи отбрасываются, как не заслуживающие доверия.

О приближенных вычислениях

         При решении задач и обработке результатов физических экспериментов мы встречаемся с различными значениями физических величин. Они определяются в результате расчетов или измерений, находятся из таблиц или графиков. Чтобы получить достоверные и надежные результаты, необходимо не только правильно проводить эксперименты, но и уметь правильно обрабатывать получаемые данные, которые в большинстве случаев являются приближенными.

         Приближенные вычисления отличаются от правил точных вычислений (применяемых при расчетах на микрокалькуляторах) и предполагают три обязательных момента:

1) определение значения искомой величины;

2) оценку точности полученного результата;

3) округление результата в соответствии с его точностью.

Существуют различные методы приближенных вычислений. Каждый из них представляет собой в достаточной мере стройную и обоснованную системы правил и с успехом применяются на практике при решении задач и обработке экспериментальных данных.

Числа точные и приближенные

Надо различать: точные и приближенные числа.

     Точные числа:

1) числовые коэффициенты  ,

2) показатели степеней

3) коэффициенты, отражающие дольность и кратность единиц измерения

1 с = мин;

4) температура тройной точки воды Т=273,16 К

5) показатель преломления вакуума (точно) n=1

6)

Погрешность точных чисел равна нулю.

Все приближенные числа имеют отличную от нуля погрешность.

     Приближенные числа:

1) результаты измерений;

2) округленные значения точных чисел

3) табличные значения мат., физ., хим. величин

4) иррациональные числа

;      

p=3,14;       ;   .

Значащие цифры (в точных и приближенных числах)

         Все цифры и нули (не расположенные вначале числа) числа – значащие.

Пример: 3,1416. (5) – значащих цифр, каждая показывает, сколько единиц, десятков, сотен (и т.д.) единиц  соответствующего разряда.

Пример: 5,094^.10⁵                 (4) значащих цифры

Пример: 0,0172           (3) значащих цифры

         Стандартная форма записи числа: когда первая значащая цифра стоит в разряде единиц; остальные сохраняются после запятой; число записывается с множителем 10ⁿ (где n — положительное или отрицательное целое).

Верные, сомнительные и неверные цифры.

(только в приближенных числах)

         В точных числах все цифры верные.

В приближенных числах количество верных определяется абсолютной погрешностью числа.

         Цифры верные, если в (п-1) разряде погрешность не превышает половины единицы этого разряда.

Пример. 140              51      

Содержащие погрешность цифры сомнительные.

Все цифры, стоящие после сомнительной неверные, отбрасываются с использованием правил округления и запасной цифры.

Приближенные числа справочных таблиц

         В числовых данных справочных таблиц принято записывать только верные цифры.  Следовательно,  абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

Пример 1:  r=13,6 10³

В качестве предельной абсолютной погрешности

              

Пример 2: число

Если 3,14                  

3,142              

Округление чисел

          Распространяется на точные и приближенные числа

Пример: 7,192 ž 7,19 ž 7,2

              1681 ž 1,7^.10³

              0,80214 ž 0,80

Точность округленных чисел уменьшается, так как добавляется еще погрешность, вносимая при округлении (которая может быть и больше и меньше первоначальной погрешности числа).

         Округление погрешностей и результатов измерений:

При Р=0,95 погрешность округляют до одной значащей цифры.

Пример:

                  

Исключение: если число содержит первую цифру 1, то сохраняется вторая сомнительная (значащая) цифра.

         Относительная погрешность также округляется.

         Правильно округленная абсолютная погрешность позволяет правильно округлить и записать результат измерения, (содержащий верные и одну (две) сомнительные значащие цифры).

Пример:

                     

           

               

         Число значащих цифр однозначно определяется погрешностью.

Запись результатов измерений

1. Результат измерений записывается вместе с погрешностью и доверительной вероятностью (надежностью).

                    Правильно:                                                              Неправильно:

         m= (40,12±0,04) г;  Р=0,95                                m=40,12 г

2. При записи погрешности ограничиваются одной значащей цифрой.

                    Правильно:                                                              Неправильно:

         t=(42,4±0,2) c                                                     t=(42,4±0,218) c

3. Если в погрешности первая значащая цифра единица, то после нее сохраняется еще одна, а в результате – две сомнительные цифры.

                    Правильно:                                                              Неправильно:

         h=(21,45±0,12) мм                                             h=(21,45±0,1) мм

4. Последняя цифра результата и последняя цифра его абсолютной погрешности должны принадлежать к одному и тому же десятичному разряду.

                   Правильно:                                                        Неправильно:

         l= (104, 0±0, 6) см                                              l= (104±0, 6) см

         v= (2, 3±0, 4) м/с                                                v= (12, 25±0, 4) м/с

5. Если в ответе содержится множитель вида 10ⁿ, то показатель степени n и в результате и в его абсолютной погрешности должен быть одинаковым.

                   Правильно:                                                        Неправильно:

         R=(61,24±0,03)^.10⁵ Ом                                      R=(61,24^.10⁵±3^.10³) Ом        

6. Измеренная величина и ее абсолютная погрешность выражается в одних единицах измерений.

                  Правильно:                                                         Неправильно:

         I=(3,240±0,005) A                                                       I=3,240 A±5 мА

         или I=(3240±5) мА                        

Математические действия над приближенными числами

         При обработке результатов измерений приходится выполнять различные математические действия. Приближенный характер исходных данных ограничивает точность получаемого результата.

1. Сложение и вычитание.

Правило 1: при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количеством.

12,1

     +  4,34

         0,402

________   16,82   » 16,8

      2. Умножение и деление

Правило 2: При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством.

82,5

         2,50                              

         4125

         1650

         206,50 »206                        

3. Извлечение корня.

При извлечении корня степени из приближенного числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении.

Прямые измерения

Задача прямого измерения определить:

1) наиболее вероятного значения измеряемой величины х_изм

2) учет поправок  ∆х_{поправок}

3) вычисление случайной погрешности ∆х_сл

4) вычисление приборной погрешности ∆х_пр

5) вычисление погрешности  округления ∆х_окр

6) вычисление полной погрешности ∆х

7) вычисление относительной погрешности измерений ;e_пр;e_окр;e_полное (%).

Наиболее вероятное значение измеряемой величины

         Наиболее вероятное значение измеряемой величины – это среднее арифметическое значений, найденных в многократных повторных наблюдений.

            т.е.

         число n – многократно повторных опытов.

Поправки. Случайные  погрешности

         Поправки вносят сразу в каждое значение измеряемой величины (или в среднее значение величины).

;      ;      ;     

          Случайные погрешности :

            Случайная погрешность  проявляется в разбросе данных при измерении. Если этого не наблюдается, значит точность невысока, следует повторить опыт с большей точностью (или учет » 0).

         Введем величину случайное отклонение  результата  от .

         С вероятностью Р=0,95 эта величина  по модулю не превышает 2d — стандартного отклонения, т.е.  лежит в интервале [-2d; +2d]

—l_рd; +l_рd, где     l_р=2,0.

                          рис. 1                                                          рис. 2

В интервал [—2d; 2d]  около <х> попадает 95%   измерений.

Если перенести начало координат в точку х=х_ист, то по оси абсцисс вместо х в том же масштабе будет отложена ошибка dх, а по оси ординат – плотность вероятности f(dх) получения ошибки dх.

         Кривая распределения ошибок характеризует точность эксперимента. Чем острее и выше пик кривой (рис. 2), тем меньше ошибки (выше точность). Пологая кривая отражает наличие больших случайных ошибок.

 (полуширина доверительного интервала Dх=2S_n) при Р=0,95. Это для большого числа измерений!

         В учебных лабораториях n~10.

Таблица коэффициентов Стьюдента при Р=0,95

         Окончательная формула для расчета случайной погрешности Dх_сл, определяющая полуширину доверительного интервала

Погрешность прибора

         Предельная погрешность прибора абсолютная d; относительная (класс погрешности) к % указывается в паспорте или шкале прибора.

Пример. См. стр. 19 или 75.

 

К=0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 4,0

При Р=0,95 полуширина доверительного интервала 2d.

 

Пример: Предельная d штангенциркуля 0,1 мм

DД_приб.=

измеренная величина

Д=10,0 мм         

(для контрольного измерения)

Н=80,7 мм

(для контрольного измерения)

           Для обеспечения точности надо выбирать предел так, чтобы вся шкала была задействована.

Таблица1.

Погрешность округления

          h – интервал округления.

          Показания могут быть сняты как до целого, так и до половины деления.

Тогда интервал h соответственно равен цене деления; или половине цены деления.

           Для доверительной Р=0,95

Пример: 1)

Для миллиметровой линейки.

Для    

Косвенные измерения

           В задачу косвенного измерения входит:

1.Определение наиболее вероятного значения величины .

2.Определение Dу_сл. Определение Dу_приб. Определение Dу_окр.

3.Определение полной абсолютной погрешности косвенного измерения.

4.Определение e_у%

5. Записать результат задачи:

У=(у±Dу);  e_{у (}%); Р=0,95

Граф-схемы расчета косвенных погрешностей

Нахождение наиболее вероятного значения у

У_изм. – является значение функции у, вычисленное при средних (наиболее вероятных) значениях каждого аргумента.

         <у>=f(<x₁>; <x₂>; <…> <x_n>)

Косвенные измерения. Расчет погрешностей

                               

         В случае, если х_i входят в функцию в виде сомножителей, то проще рассчитать e_у(%).

       

где U, I, p, Д,  — средние значения из расчета прямых измерений.

Д – микрометром; абсолют. пред. d=0,004 мм; цена делен. h=0,01 мм

DД_приб., =

       

<>=900 мм

            Если погрешность по   на порядок меньше, чем другие, то её можно не учитывать.

Графические методы обработки

Отличается простотой и наглядностью. Этими методами можно решать самые разнообразные задачи: находить значения физических величин (графическое интерполирование и экстраполирование), выявлять характер функциональной зависимости между величинами, обнаруживать и устанавливать условия различных особенностей (максимумов, минимумов, точек перегиба и т.д. Графические способы обработки заключаются в том, что путем соединения плавной линией точек, образующихся в результате измерения экспериментальных данных получают график, выполняющий графическое дифференцирование любой функции, представленной графически. Полученные графические функции стремятся привести к пропорциональной зависимости первого порядка. Исходя из полученной линии, определяют коэффициенты уравнения, описывающего процесс.

          Задача. Определение неизвестных параметров с помощью графиков.

Метод наименьших квадратов

        Аналитический метод:

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида у = ах + b, чтобы сумма квадратов отклонений Dу_i (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (метод «наименьших квадратов»), т.е. чтобы величина

Рис. 5

                                                                        (1)

имела минимум. Здесь x_i и y_i — значения величин х и у в i-том измерении, n — количество измерений. Величина S будет минимальной, если её частные производные по параметрам а и b будут равны нулю:

                                                                       (2)

Отсюда наилучшие значения параметров «а» и «b » равны:

           (3)

где средние значения

Лекция «Личная и произвоственная гигиена» также может быть Вам полезна.

,.

Введем обозначения

 и                                                    (4)

Абсолютные случайные погрешности Dа_сл и Db_сл определяются по формулам:

 и                                               (5)

где t_p,n-2 — коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности P и (n-2) измерений. При P = 0,95 и n ~ 12-15 коэффициент t_p,n-2 = 2,25.

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента