Типичные ошибки егэ математика база

Чтобы успешно сдать экзамен, подготовку нужно начинать заранее. И если вы не можете самостоятельно определить свои слабые места и проблемы, рекомендуем начать с разбора типичных ошибок ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Здесь мы приведем анализ типичных ошибок 2023 и дадим советы, как их не допустить при сдаче ОГЭ/ЕГЭ по математике. Следите за нашим телеграм-каналом – там мы будем разбирать и другие дисциплины, чтобы помочь вам в поступлении.

Базовый уровень математики

Ошибки в задачах на проценты

Чаще всего их допускают, так как не разбираются в сути процента.

Возьмем пример задачи, когда нужно сначала снизить цену на 25%, а потом повысить ее на 25%. Самая частая ошибка – полагать, что эти проценты будут равны одной и той же сумме. На самом же деле база их зачисления будет совершенно разной.

В этом примере 6% участников допустили вариант, что новую цену нужно понизить на 25%. На самом же деле новая цена – это 125% от старой. И вопрос в этой задаче – узнать, сколько будет 100% от старой цены.

Совет: повторить основы расчета процентов, повторить взаимосвязи величин, подумать над способом решения таких задач.

Невнимательное прочтение условия задания

Волнение и психологическое напряжение приводят к тому, что участники часто неправильно понимают условие задания. В итоге – снижение итогового балла по невнимательности, а не по незнанию.

Например:

В 24% участников упомянули те точки, где значение функции (а не производной) положительное. Еще 2% указали номера точек, где производная принимает положительное значение.

Совет: вдумчиво, медленно и несколько раз читайте задание.

Непонимание текста задачи (на повышенном уровне и в практико-ориентированных заданиях)

Учащиеся могут не только неправильно понять, но и вовсе не понять условия. Иногда это происходит из-за незнания величин, единиц их измерения или плохой работы с формулами. Многие просто пропускают эту часть тестирования.

Вот пример задачи:

Её выполнило только 57% участников тестирования. 8% вообще не дали ответа, 6% дали ответ «чем ближе, тем лучше», 4% – «лампочку необходимо поместить в середину разрешенного интервала», еще 4,5% приняли фокус за основной параметр.

Совет: изучайте задания прошлых лет, просите учителя практиковать как можно более разные задачи.

Ошибки в вычислениях

Школьная привычка использовать даже в самых легких примерах калькулятор приводит к плачевному результату на экзамене. Если учащийся не научиться быстро считать в уме или хотя бы на бумаге, во время тестирования он может ошибиться даже в самых простых заданиях. 

Особенно сложно участникам тестирования даются дроби, отрицательные числа, элементарные преобразования выражений и другие проблемы, копившиеся еще с 5 класса.

Совет: если в чем-то не разбираетесь, обязательно отработайте эту тему до автоматизма перед экзаменом, потому что она обязательно попадется.

Ошибки теоретического характера

Это касается фактов по геометрии и алгебре, незнание которых приводит к снижению процента выполнения заданий и базового, и профильного уровней.

Например:

В этой задаче около 8% участников вообще не ответили на поставленное условие, 38% дали ответ с ошибками относительно боковой поверхности конуса, а 12% совершили ошибки в расчёте объёма.

Статистика показывает, что в таких заданиях ошибок гораздо больше, чем в гораздо более сложных профильных заданиях. 

Совет: потренируйтесь перед тестированием. Если ответы не сходятся с ключами, обратитесь за помощью к стороннему специалисту (репетитору или сервису студенческой помощи), чтобы они указали, где вы ошибаетесь.

Ошибки в алгоритмах и методах решения

Этот тип ошибок встречается во всех заданиях.

Например:

Около 15% участников получили нулевые баллы из-за проблем с невнимательным чтением неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств.

Хватает ошибок и в решении дробнорациональных неравенств, когда ученики забывают про знаменатель.

Совет: всегда проверяйте решение. Научитесь правильно находить последовательность в решении алгоритмов.

Ошибки в чтении и построении чертежа

Такое случается, когда ученик не понимает взаимосвязь элементов геометрических конструкций, а также не обладает основными пространственными представлениями. 

Например:

Около 10% участников экзамена сделали ошибки в вычислении углов по их записи, просто перепутав буквы или не понимая, где расположены вершины всех углов. Еще 5% решили, что угол ACD прямой. А 3% увидели в угле ABD равносторонний треугольник. 

Совет: тренируйтесь находить взаимосвязь элементов геометрических конструкций.

Неумение обосновывать и доказывать

14 и 16 задания по стереометрии и планиметрии отличаются повышенным уровнем сложности и требуют развернутого ответа. В каждом по 2 пункта: в первом нужно доказать, во втором – произвести вычисления. 

Самые распространенные ошибки касаются первого пункта, так как у участников выявились проблемы с умением доказывать.

Есть проблемы и в оформлении доказательств. Например:

Основная трудность в отсутствии понимания логики построения доказательства.

Совет: тренируйтесь в доказательной базе, повышайте математическую культуру, учитесь обосновывать выбранные методы и способы их решения.

Ошибки в заданиях по тригонометрии

Из-за невнимательности и неаккуратности, а также отсутствия знаний по большому количеству теоретических фактов и способности их применять на практике, участники совершают частые ошибки в решении тригонометрических заданий.

Например:

Только 34% участников выполнили его. Самые частые ошибки (около 12%) связаны в первую очередь с нахождением тригонометрического знака – чаще всего потеря знака «минус». Еще 22% ждут «красивого» ответа, равного 1 или 2.

Ошибки математического моделирования

В 11 и 17 заданиях проверяют способность учащихся к построению и исследованию простейших математических моделей. 

В текстовых задачах основную роль играет сюжетная часть – она имеет практическую ориентацию. И часто из-за непонимания взаимосвязи величин в этих заданиях допускают ошибки.

Например, в задачах на движение примерно 10% не понимают принципы движения по реке – они умножают собственную скорость на время движения.

Совет: тренируйте текстовые задачи, внимательно читайте условие задачи. 

Профильный уровень

Здесь приведем краткий список трудностей и ошибок участников ЕГЭ по математике:

1. Задание 2 – учащиеся не понимают разницу в сравнении отрицательных чисел и их моделей.
2. Задание 6 – не понимают геометрический рисунок (относятся к нему как к чертежу, где соблюдены все размеры).
3. Задание 7 – отвечают наугад в решениях производных и попытках увидеть ее на чертеже.
4. Задание 8 – ошибаются в наглядном решении. 
5. Задание 9 – неправильно применяют свойства степеней, ошибаются в решении логарифмов из-за отсутствия практики.
6. Задание 12 – ошибаются в задачах с нулями производной.

Как правильно читать задание, чтобы не совершать ошибок по невнимательности

Есть несколько рекомендаций, чтобы избежать ошибок из-за невнимательного прочтения задания. Это и будет алгоритмом решения задачи:

• прочтите условие;
• выпишите данные величины, сделайте рисунок в геометрическом задании;
• установите и запишите отношения и взаимосвязи между известными данными;
• выпишите что найти, ответ на какой вопрос нужно дать;
• определите тип задания;
• сформулируйте содержание и последовательность действий.

Это будет ваш своеобразный чек-лист, который обязательно нужно соблюдать при решении любой задачи, чтобы не допустить обидных ошибок. 

Данные условия важно именно выписывать, а не иметь в виду. Фиксация их в уме чаще всего приводит к записи неправильного ответа.

И еще момент: не приступайте к решению задачи сразу же после ее прочтения. Психологи утверждают, что важно выдержать паузу между стимулом и реакцией – именно при этом условии удастся добиться оптимальных результатов:

• сориентироваться в условии,
• обдумать и спланировать ее решение,
• понять уровень ее сложности и решить, откладывать ли ее решение напоследок. 

Кроме сложности задачи оцените, сколько баллов она принесет и насколько она утомительна. Важно оставить энергию для решения других заданий при сдаче единого государственного экзамена.

Начинайте с самой простой задачи, постепенно продвигаясь к самой сложной. На экзамене важно количество решенных заданий, а не их сложность.

Знание типичных ошибок ЕГЭ и ОГЭ по математике даст вам полную картину того, к каким заданиями нужно готовиться с большим усилием. А чтобы не отвлекаться на другие учебные дела, не забывайте: рядом есть сервис студенческой помощи, который подставит плечо в трудную минуту.

Бадмаева Л. Б.

Магистрант, Бурятский
государственный университет (г.Улан-Удэ)

Типичные ошибки и
анализ затруднений при решении заданий базового уровня ЕГЭ. Методические
рекомендации по устранению допущенных ошибок.

Аннотация

В данной статье говориться об ошибках учащихся,
которые наиболее часто допускаются на ЕГЭ базового уровня по математике в 2019
году. Так же рассматриваются пути решения данной проблемы для успешной сдачи
экзамена.

Ключевые слова: ЕГЭ, математика, базовый уровень,
ошибки.

ЕГЭ по математике – это серьёзное испытание в жизни
каждого будущего студента какого-либо учебного заведения. Ежегодно в процедуру
проведения экзамена вносятся изменения. В 2015 году новшеством является
разделение экзамена по математике на два уровня: базовый и профильный. Базовый
уровень ЕГЭ — это совсем новый экзамен. Он предназначен для тех, кому
математика не потребуется в дальнейшем обучении. Либо обучение не
предполагается вообще, либо предполагается в вузах, где предмет
«Математика» отсутствует в перечне вступительных испытаний.

Единый государственный экзамен базового уровня предназначен
для проверки базовых умений, включая бытовые расчеты, наглядную геометрию,
владение приемами вычислений и нахождения значений элементарных функций, оперирование
процентами, оценка вероятностей событий в простых ситуациях. А также работа
содержит две задачи, требующие логического анализа и построения предложенной
числовой конструкции. Вариант экзаменационных материалов по математике состоит
из 20 заданий с кратким числовым ответом или ответом в виде последовательности
цифр.

В данной работе будут рассмотрены основные ошибки 2019
года, которые встают на пути к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового
уровня.

Но, несмотря на отсутствие изменений в заданиях
базового уровня результаты учеников в 2019 году существенно отличаются от
результатов 2018 года. Основной причиной стало изменение регламента, согласно
которому в 2019 году учащийся мог выбрать только один из уровней. Это новинка
привела к выпадению из базового экзамена значительного числа детей, которые
ранее планировали использовать его как «пробный» перед профильным уровнем.
Результатом явилось некоторое общее ослабление когорты участников базового
экзамена, проявившееся как в изменении среднего балла, так и в изменении формы
распределения первичных баллов. При этом результаты наименее подготовленных учеников
практически не изменились по сравнению с прошлым годом, так как на профильный
уровень перешло значительное количество подготовленных ребят. Таким образом,
наблюдались компенсирующие процессы, связанные с общим повышением уровня
подготовки, более осознанным определением образовательной траектории и,
возможно, иными факторами.

Для того чтобы успешно сдать единый государственный
экзамен (ЕГЭ), необходимо перестать паниковать и, успокоившись, начать
заранее(!) готовиться к экзамену, решая типичные задания, анализируя свои и
чужие ошибки. Всё-таки не зря гласит народная поговорка — «не так страшен чёрт,
как его малюют», или ещё одна «глаза боятся, а руки делают!». В данной статье я
собрала самые распространенные типичные ошибки, допускаемые учениками на ЕГЭ по
математике.

И так, остановимся подробнее на них:

·        
Работа
с иррациональными выражениями, их преобразования: это задание не
самое сложное на ЕГЭ, но его процент выполнения учениками далеко не 100%. А все
дело в том, что ученики ленятся выполнять проверку данного задания. Казалось
бы, все свойства действия с корнями просты, но не все ученики могут вычислить,
или вообще не обращают внимания на степень корня, и извлекают, в любом случаи,
квадратный корень! Мои рекомендации – не торопясь, выполнять все действия на
черновике, записывая каждый этап преобразований.

·        
Работа
с показательными выражениями, их преобразование: конечно,
выполнить проверку показательного выражения сложно. Но и здесь есть свои
алгоритмы преобразований. Мои рекомендации – не торопясь, выполнять все
поэтапные преобразования. Можно составить аналогичное задание и найти
закономерность.

·        
Преобразование
логарифмических выражений: многие ученики не выполняют это задания,
только лишь потому, что бояться его, не уверены в своих знаниях в этой области.
Оно и понятно. Ведь с логарифмами выпускники знакомятся только в 11 классе в
ноябре-декабре, и времени на их усвоение очень мало. Но решение задания ЕГЭ,
относящиеся к логарифмам, построено лишь на знании свойств логарифмов. Самое
сложное в этих заданиях – выполнение проверки. Мои рекомендации – не торопясь,
записывать все этапы преобразования, проговаривая используемое свойство
логарифма.

·        
Квадратные
уравнения:
ошибки начинаются с вычисления дискриминанта. Также распространенные ошибки
встречаются при вычислении корней (например, забывают о знаке « — » перед в,
или забывают о 2 перед а). У сильных учеников «хромает» формула
«четного коэффициента». Мои рекомендации – не пренебрегать теоремой Виета для
проверки корней. Также корни можно проверить обычной подстановкой.

·        
Дробно-рациональные
уравнения и неравенства: ученики элементарно забывают даже о том,
что знаменатель  не равен 0 – с этого начинаются ошибки решения данных
уравнений. Также не знание формул сокращенного умножения мешают выпускникам
решить это задание, не умение разложить многочлен на множители (P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0)
и т.д. Мои рекомендации – знать и уметь пользоваться формулами сокращенного
умножения, не забывать об ОДЗ, уметь решать линейные и квадратные уравнения,
четко понимать действия с рациональными дробями (P(x)/Q(x)), и,
конечно же, при подготовке к экзамену решать как можно больше подобных заданий.

·        
Текстовые
задачи:
часто распространенные ошибки в этих задания – это невнимательное и неумелое
чтение условий задачи. Мои рекомендации – в начале решения обязательное
составление краткой записи, схемы, чертежа; проверка арифметических ошибок; и,
конечно же, проверка ответа «на разумность».

·        
Также
выяснилось, что геометрию ученики знают хуже, чем алгебру: незнание основных планиметрических утверждений, неумение
работать с формулами стереометрии. Здесь рекомендация только одна – учить
формулы и теоремы геометрии.

По итогам экзамена базового уровня 2019 года отличные
результаты были получены при выполнении практико-ориентированных заданий на
чтение диаграмм и графиков (задание 11), таблицы (задание 12) и сопоставление
величин (задание 9). Данные задания выполняли 90-95% участников экзамена, что
очень радовало.

Учащиеся показали очень низкий процент выполнения по 
практико-ориентированному стереометрическому заданию 13 (выполнение около 40%).
Я считаю, что в данном задании необходимо тщательно выполнять проверку решения
и ответа. И советую вернуться к заданию через некоторое время для итоговой
проверки.

Более 70% участников выполняли задание на вычисление
вероятности события (10). Можно сказать, что с этим заданием дети справились хорошо

Кроме
стереометрической задачи 13, хуже других решены такие задачи как: 14, 15, 16,
19 и 20. Задание 14 было на наглядное представление о производной.
Геометрические задачи 15 и 16 на соотношения в прямоугольном треугольнике и
расчет элемента фигуры в пространстве 15 представляют трудности для учеников. Следующие
задания 19 и 20 требовали внимательного перебора всевозможных вариантов или
логического анализа. А вот с заданием 19 справилось 65%, а с 20 заданием всего
29 % учеников. Таким образом, выполнение данных заданий могу считать
удовлетворительным. Я рекомендую учащимся: развивать навыки правильного чтения
условия задачи и быстрого счета, умения проводить систематический перебор
вариантов, умения концентрироваться на задании при работе с цифрами и текстами 
и производить внимательную проверку полученного результата.

Для успешной сдачи экзамена необходима совместная
серьезная, кропотливая работа учителя, ученика и родителей.

Я
советую учителям, начинающим работу в 10-м классе и готовящим детей к экзамену
по математике, получить достоверную информацию об уровне подготовки учащихся по
основным разделам курса алгебры основной школы и своевременно организовать
работу по ликвидации пробелов в знаниях учеников. Я предлагаю уделить особое
внимание «западающим» темам  при подготовке к экзамену.

Настоятельно
рекомендую проводить тренировочное тестирование по каждой теме с жёстким
ограничением по времени. Данный режим будет тяжёлым для школьников в первое
время, однако привыкнув к этому темпу, в последующем дети будут чувствовать
себя намного спокойнее и увереннее. 

Чем
ближе сроки сдачи экзаменов, тем больше ученики начинают ощущать
психологическое напряжение. Ведь для школьников наступает ответственный и
волнительный момент в их жизни. И поэтому учащимся необходимо оказать
помощь в психологическом плане, для этого необходимо как можно ближе познакомить
ребят с процедурой и спецификой ЕГЭ. Нужно, чтобы они привыкли к специфике
экзамена, смогли правильно распределить время для решения всех заданий. Для
этого можно провести пробные экзамены в школе, чтобы как можно ближе
познакомить выпускников со всей процедурой итоговой аттестации. А также
необходимо систематическое занятие, для того чтобы у старшеклассников выработалась
техника решения заданий. И очень важно чтобы в семье была психологическая
поддержка, и был создан благоприятный психологический климат для ученика.

Конечно,
для того, чтобы успешно сдать единый государственный экзамен по математике
очень важно пройти всю программу целиком, а не только то, что может пригодиться
на экзамене. И начинать подготовку к выпускным экзаменам не за год до него, а
гораздо ранее (с начальной школы).

И важно
понимать, что при изучении дисциплины очень важна ответственность не только
ребенка, но также и учителя и родителя в равной степени!

Я
рекомендую следующие материалы, которые окажут методическую помощь учителям и учащимся
при подготовке к ЕГЭ базового уровня:

·          
материалы
с сайта ФИПИ (www.fipi.ru):

·          
сайт
https://ege.sdamgia.ru/;

·          
открытый
банк заданий ЕГЭ https://fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege;

·          
сайт
https://uchi.ru/

Математику базового уровня часто недооценивают, пренебрегая подготовкой к ней. Однако от нее зависит судьба аттестата: без «отлично» за математику отличник не получит красный аттестат, а без порогового балла выпускники в принципе рискуют уйти из школы со справкой! Типичные ошибки на ЕГЭ по математике помогут избежать этой участи.

Типичные ошибки ЕГЭ по математике в задачах на проценты

Проблемы возникают из-за неумения рассчитывать процент от суммы. Так, стоит обратить внимание, что процент повышения или понижения стоимости вычисляется от старой, а не новой цены, поэтому принимать новую цену за 100% и исходить из нее станет причиной ошибки на ЕГЭ по математике. Новая цена — это 100% ± процент повышения (+) или понижения (-).

Частые ошибки в вычислениях

Вычислительные ошибки на ЕГЭ по математике не редкость, но от этого они не перестают быть опасными и обидными. Стоит следить за наличием минуса (и его сокращением), а также помнить правила преобразования выражений, действий с дробями. Не стоит полагаться исключительно на умение считать в уме: лучше выполнять свои вычисления на бумаге и обязательно производить проверку (подставляя значение на место неизвестной в уравнениях и производя смежные действия (сложение-вычитание, деление-умножение) в простых примерах).

Основные ошибки теоретического характера

Ошибки на ЕГЭ по математике часто возникают из-за неумение работать с чертежами и терминологией. Большинство выпускников пытается найти заданную в номере величину с помощью инструментов или на глаз, часть из них не знает терминологии и находит не ту величину. Чтобы не допустить этого, стоит научиться работать с объемными фигурами: находить площадь их поверхности (всей или боковой), объемы и их части.

Также стоит обратить внимание на важные аспекты теории: основные теоремы, аксиомы, свойства.

Распространенные ошибки в алгоритмах и методах решения

Последовательность выполнения действий проходится еще во втором классе, однако даже такие ошибки на ЕГЭ по математике встречаются. Стоит помнить как простейшие алгоритмы решения примеров: сначала действия в скобках, а потом остальные; первыми идут умножение и деление, потом сложение и вычитание, — так и более сложные. Так, в дробях ни в коем случае нельзя забывать про знаменатель, а сокращаться из числителя и знаменателя могут только множители (простые числа и выражения в скобках).

Ошибки при чтении и построении чертежа

Ошибки на ЕГЭ по математике, касающиеся чертежа, возникают при работе как с объемными фигурами, так и с расположенными в одной плоскости. Они связаны с отсутствием пространственного представления и невнимательностью, вызванной неправильным прочтением буквенной записи (угол АВС — это не то же самое, что углы АСВ и САВ). Также сложности могут возникнуть при неумении ориентироваться в основных обозначениях на чертеже (равные стороны, равные углы, прямые углы).

Типовые ошибки в заданиях по тригонометрии

Раздел тригонометрии построен на знании тригонометрических тождеств и свойств тригонометрических функций, поэтому ошибки на ЕГЭ по математике могут быть допущены из-за недостаточного владения теорией. В КИМ-е базовой математике даны основные формулы, которые могут быть полезны выпускникам, однако стоит также научиться выводить из них остальные.

Ошибки математического моделирования

Трудности, связанные с математическими моделями, вызваны неумением решать практические текстовые задачи. Для их решения необходимо понимать принцип работы действия (чаще всего, один из видов движения). Сложности возникают с подстановкой в формулу неверных данных, из-за чего искажается ответ.

Таким образом, базовая математика не так проста, как может показаться на первый взгляд. Она не займет так много времени, как профильная, но все равно требует подготовки.

10 основных ошибок, допускаемых в ЕГЭ по математике

Совет учиться на ошибках других бесполезен; научиться чему-либо можно только на собственных ошибках.

Б. Шоу

1. Обзор основных ошибок

Обзор составлен на основе материалов ФИПИ за 2016, 2017 гг.

https://drive.google.com/file/d/0B8MkXVdvfYcrZUdvcmk0TEpia1k/view

http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1476454097/matematika.pdf

Профильный уровень

Задание	Процент выполнения	Типичные ошибки
1	90%	Неумение читать условие и непонимание процентов
2	95%	Невнимательное чтение условия и непонимание единиц измерения
3	88%	Невнимательное чтение условия
4	89%	Невнимательное чтение условия
5	91%	Ошибки в свойствах степеней
6	65%	Непонимание математической записи угла и неверное чтение чертежа
7	54%	Невнимательное чтение условия
8	57%	Отсутствие базовых пространственных представлений и знаний соотношений
9	47%	Ошибки в определении знака тригонометрической функции
10	65%	Невнимательное чтение условия или непонимание текста
11	36%	Невнимательное чтение условия
12	38%	Непонимание алгоритма исследования функции с помощью производной
13	36%	Неумение и небрежность отбора корней тригонометрического уравнения с помощью единичной окружности
14	6%	Неумение доказывать, непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции, ошибки в теоретических фактах
15	15%	Невнимательное чтение математической записи неравенства, непонимание алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств, забыт знаменатель при решении дробно-рационального неравенства, небрежность при изображении множества решений на координатной прямой
16	3%	Неверное понимание логики построения доказательства, ошибки в построении чертежа
17	11%	Неверное составление модели задачи (непонимание взаимосвязи величин) и вычислительные ошибки
18	3,5%	Недостаточная сформированность графического метода решения – отсутствие объяснений и обоснований, отсутствие ответа на поставленный вопрос
19	3,5%	Непонимание того, что на вопрос «Может ли…?» нужно давать аргументированное решение, а не ответ «да» или «нет»

Базовый уровень

Основные факторы, вызывающие ошибки:

• недостаточный уровень понимания условия при чтении задания,

• вычислительные ошибки,

• недостаточная развитость наглядных геометрических представлений.

1. Анализ 10 типичных ошибок на примерах заданий ЕГЭ

Задачи на проценты – непонимание механизма начисления процентов.

В большинстве случаев причина ошибок – непонимание сущности процента. Например, если в условии сказано, что цена товара сначала была повышена на 25%, а затем понижена на 25%, то эти проценты не будут одной и той же суммой денег, т.к. база начисления этих процентов разная.

Пример:

При решении этого задания 6% участников экзамена посчитали, что если цена была повышена на 25%, то для нахождения старой цены нужно новую цену понизить на 25%. В действительности же новая цена составляет 125% от старой цены, а узнать нужно, сколько рублей соответствуют 100%.

В более сложной экономической задаче требуется понимание механизма начисления простых и сложных процентов, обоснованное применение формул, выбор правильного способа решения. Типичные ошибки здесь связаны с неверным составлением модели задачи, непониманием взаимосвязи величин, непониманием того, что важен не только ответ, но и способ решения задачи.

Невнимательное чтение условия.

К сожалению, это самая распространенная ошибка согласно анализу типичных ошибок ЕГЭ, проведенному ФИПИ.

Конечно, многое здесь можно списать на волнение и психологическое напряжение. Даже самые подготовленные ученики на экзамене могут растеряться, переволноваться или поспешить в решении более простых заданий. Однако факт остается фактом, и при подготовке к экзаменам на него нужно обратить внимание.

Примеры:

Почти 24% участников экзамена указали количество точек, в которых значение функции (а не ее производной) положительно, а еще около 2% участников пытались перечислить номера точек, в которых производная принимает положительное значение.

Около 2,5% участников экзамена нашли вероятность выбора подтекающего насоса, не обратив внимания на частицу «не» в условии.

Практико-ориентированные задания базового и повышенного уровня – непонимание текста задачи.

Кроме ошибок, связанных с невнимательным чтением условия, на первое место здесь выходит непонимание текста задачи, незнание единиц измерения величин, неумение работать с формулами. Многие выпускники даже не приступают к технически не сложным практико-ориентированным задачам повышенного уровня.

Пример:

Выполнение задания – около 57%. Отмечается, что 8% участников не дали никакого ответа; 6% решили, что чем ближе, тем лучше; 4% решили, что лампочку нужно поместить в середину разрешенного интервала, а еще 4,5% решили, что самый главный параметр – это фокус.

Вычислительные ошибки.

Привычка вычислять все с помощью калькулятора, вплоть до таблицы умножения и действий с круглыми числами доставляет учащимся немало проблем на экзамене. Отсутствие навыков быстрого счета в уме или на бумаге часто приводит к тому, что участники экзамена допускают грубые ошибки в элементарных примерах. «Слабые» места многих старшеклассников – это дроби, отрицательные числа, элементарные преобразования выражений, т.е. проблемы, накопившиеся с 5 класса.

Ошибки в теоретических фактах.

Незнание необходимых для решения задач теоретических фактов, как по алгебре, так и по геометрии, существенно снижает процент выполнения большинства заданий как базового, так и повышенного уровня сложности.

Примеры:

Около 8% выпускников не дали никакого ответа; 38% ошиблись в формуле боковой поверхности конуса, а еще 12% в формуле его объема. Отмечается, что процент выполнения этого задания существенно ниже, чем, например, формально гораздо более сложного задания с полным решением на решение уравнения и осуществление отбора корней. Это означает, что низкий процент выполнения заданий по стереометрии вызван именно существенными проблемами в ее преподавании.

В задании 5 проверялось умение решать показательные и логарифмические уравнения. Из семи процентов выпускников, не справившихся с заданием, 2% ошиблись в свойствах степеней.

Незнание алгоритмов и методов решения.

Знание алгоритмов и методов решения проверялось во многих заданиях экзаменационной работы. Например, в задании 12 требовалось продемонстрировать понимание алгоритма исследования функции с помощью производной, а в заданиях 5,13,15 знание общих и частных методов решения уравнений и неравенств.

Пример:

Ненулевые баллы получило около 15% участников экзамена. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель).

Неверное чтение чертежей, непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции, отсутствие базовых пространственных представлений, ошибки в построении чертежа.

В преподавании геометрии очень важным является не только умение решать вычислительные задачи с геометрическим содержанием (по формулам), но и формировать геометрические представления о фигурах (телах). При отсутствии базовых пространственных представлений сложно ожидать высокого процента выполнения стереометрического задания с полным решением.

Пример:

Отмечается, что около 10% участников экзамена при решении этой задачи неверно определили углы по их записи (перепутали буквы или не понимают, какая из букв в записи угла соответствует его вершине). Около 5% участников «увидели» прямоугольный треугольник ACD, а еще 3% — равносторонний треугольник ABD.

Процент выполнения экзаменующимися геометрических заданий традиционно ниже, чем процент выполнения заданий алгебраических. В целом при решении геометрических задач более половины выпускников продемонстрировали отсутствие знания взаимосвязей элементов геометрической конструкции и соотношений между величинами пространственных фигур.

Неумение доказывать, обосновывать.

К заданиям повышенного уровня относились задания второй части 14 (стереометрия) и 16 (планиметрия) с развернутым ответом. Оба задания содержали два пункта. В первом пункте задание доказать, а во втором пункте вычислить. Основной проблемой оказалось выполнение первого пункта. Участники экзамена продемонстрировали неумение доказывать. При этом много встречается различного рода логических ошибок. Наибольшие затруднения участники испытывали при оформлении доказательства.

Пример:

Типичные ошибки связаны с непониманием логики построения доказательства. Например, доказательство начинается так: «Пусть точка О является серединой отрезка СК…». Т.е. в начале доказательства уже допускается факт, который и требуется доказать.

Задания 18 и 19 высокого уровня сложности предназначены для конкурсного отбора в ВУЗы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Это задания на комбинацию различных методов. Для успешного их выполнения, кроме прочих математических знаний, необходим высокий уровень математической культуры, который предполагает, в частности, умение обосновывать выбранные методы и способы решения.

Примеры:

Ненулевые баллы при решении этого задания получило около 17% участников экзамена. Многие выпускники попробовали исследовать несколько примеров, а потом обобщить полученный результат. Типичным заблуждением для многих оказалось, что на вопрос «Может ли?» нужно давать аргументированное решение, а не качественный ответ «да» или «нет».

Ненулевые баллы при решении этого задания получило около 3% участников экзамена. Основной проблемой оказалось применение графического метода, который, как показали работы участников экзамена, не достаточно сформирован. Без объяснений и обоснований на координатной плоскости отмечаются графики, и считывается множество значений параметра. Во многих случаях на координатной плоскости обозначено много верных объектов, а ответа на поставленный вопрос так и не последовало.

Задания по тригонометрии требуют тщательности решения.

Представленные в экзаменационной работе задания по тригонометрии не относятся к числу самых сложных, однако их выполнение требует тщательности решения, аккуратности, внимания, знания большого количества теоретических фактов и умения их применять на практике.

Примеры:

Выполнение задания – около 34%. Типичные ошибки связаны в первую очередь с определением знака тригонометрической функции – почти 12% участников экзамена потеряли знак «минус». Еще 22% решили, что ответ ожидается «хорошим» — 1 или 2.

Задание 13 проверяло умение решать тригонометрические уравнения и производить отбор корней. Основной проблемой первого пункта оказалось неумение вводить новую переменную (ошибки в свойствах степеней), незнание формул решения простейшего тригонометрического уравнения. При выполнении второго пункта участники продемонстрировали неумение или небрежность отбора корней.

Отсутствие навыков математического моделирования.

Способность к построению и исследованию простейших математических моделей проверяется в заданиях 11 (текстовая задача) и 17 (текстовая задача с экономическим содержанием). Текстовые задачи, как правило, являются стандартными задачами на составление уравнений курса алгебры 8 класса. В экономической задаче требуется верно построить математическую модель и исследовать ее. Важную роль при этом играет сюжетная, практико-ориентированная часть условия. При составлении математических моделей основные ошибки являются следствием непонимания взаимосвязи величин. Так, например, в задачах на движение около 10% участников экзамена продемонстрировали непонимание движения по реке – собственную скорость умножили на время движения.

1. Задачи с ошибками как форма работы на уроке.

Одной из форм работы на уроках является поиск и исправление ошибок. «Задачи с ошибками» являются заданиями творческого типа, они приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д.

Мой опыт преподавания показывает, что такие задания нравятся учащимся и являются достаточно эффективным способом совершенствования навыков решения задач.

Методика работы с задачами с ошибками может быть следующей:

1 этап: Индивидуальная, парная или групповая работа, в зависимости от уровня подготовленности учащихся, по поиску и исправлению ошибок. Задачи с ошибками могут быть представлены в раздаточном материале (карточки) или на слайдах презентации.

2 этап: Совместное обсуждение ошибок.

3 этап: Снова индивидуальная или парная работа – составление памятки «Советы ученику, решающему задачу».

4 этап: Проверка результатов и подведение итогов учителем.

Примеры заданий с ошибками по многим темам можно составить самим или найти в литературных и интернет-источниках.

Мои рекомендации:

1. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в ВУЗы.

У меня старое издание 1996 года, но есть и более поздние издания этой книги.

Раздел 7 этого пособия так и называется: «Учимся на чужих ошибках».

1. http://math4school.ru/rabota_nad_oshibkami.html

Раздел сайта «Мath4school» называется «Работа над ошибками», содержит большое количество примеров с решениями и подробным анализом ошибок.