Лекция 17.
Расчет
установившейся ошибки в системах
управления. Структурные признаки
астатизма. Коэффициенты ошибок
Установившейся
(статической) ошибкой называют постоянное
значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании
переходного процесса:
,
рисунок 116.
Очевидно,
установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик
входных сигналов системы. Поэтому при
ее определении принято рассматривать
так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют
степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:
,
,
и так далее.
При наличии
нескольких воздействий на линейную
систему для определения xуст
используется принцип суперпозиции –
реакция линейной системы на совокупность
входных сигналов совпадает с алгебраической
суммой ее реакций на каждый из сигналов
в отдельности:
,
где каждое слагаемое,
или составляющая сигнала ошибки,
определяется
для i-го
входного сигнала при условии, что
остальные тождественно равны нулю.
Такой подход полностью соответствует
определению передаточной функции и
позволяет выполнять расчет установившейся
ошибки на основе структурной схемы
системы.
Рассмотрим порядок
расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере
(рисунок 117).
В соответствии с
принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде
суммы трех составляющих
.
Изображение по
Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке
при известном изображении задающего
воздействия G(s):
,
где (s)
– основная передаточная функция
замкнутой системы. Для структурной
схемы на рисунке 117
,
где
— передаточная функция разомкнутой
системы, или прямой цепи системы, для
рассматриваемого примера.
Непосредственно
для расчета установившегося значения
ошибки от задающего воздействия
используют теорему о конечном значении
для преобразования Лапласа:
В результате:
.
Изображение по
Лапласу ошибки от возмущающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке от возмущения
при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):
,
где f(s)
–передаточная функция замкнутой системы
по возмущающему воздействию,
;
Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой
системы по возмущению (передаточная
функция участка прямой цепи системы от
точки приложения возмущающего воздействия
до выхода системы).
Для структурной
схемы на рисунке 8 необходимо учитывать
два возмущающих воздействия, приложенные
в различные точки системы.
Для f1:
,
,
.
Для f2:
,
,
.
Расчет упрощается
для системы с единичной отрицательной
обратной связью (рисунок 118):
,
,
где k=k1k2k3
– коэффициент передачи разомкнутой
системы.
Найдем установившуюся
ошибку для некоторых типовых вариантов
задающего воздействия.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
Если установившаяся
ошибка тождественно равна нулю при
каком-либо типовом варианте входного
сигнала, независимо от его численных
характеристик, систему называют
астатической по рассматриваемому
входному сигналу.
Количество типовых
вариантов входного сигнала – членов
степенного ряда, при которых установившаяся
ошибка тождественно равна нулю, определяет
порядок астатизма.
Рассматриваемая
система обладает свойством астатизма
второго порядка по задающему воздействию.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f1:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f1.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим тот же результат.
Отметим, что по
возмущению f1
рассматриваемая система не является
астатической. Кроме того, она не в
состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f2:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f2.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
По возмущению f2
рассматриваемая система имеет астатизм
первого порядка. Она не в состоянии
отработать возмущающее воздействие,
изменяющееся во времени с постоянным
ускорением.
Подведем некоторые
итоги:
1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки
приложения входного сигнала.
2. Постоянные
времени звеньев системы не влияют на
ее точность.
3. Увеличение
значения коэффициента передачи
разомкнутой системы приводит к снижению
величины установившейся ошибки.
Для систем с
единичной отрицательной обратной связью
существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.
Рассмотрим
структуру, показанную на рисунке 119.
В общем случае
передаточная функция разомкнутой
системы может быть представлена в
следующей форме:
,
где l0.
Тогда получим:
и для общего вида
задающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Результат нахождения
этого предела зависит от соотношения
показателей степени:
— при l>v
установившаяся ошибка равна нулю
независимо от остальных параметров, то
есть имеет место астатизм;
— при l=v
получаем константу;
— при l<v
установившаяся ошибка стремится к
бесконечности, то есть система не в
состоянии отработать входной сигнал.
Учитывая, что
минимальное значение v
нулевое, получаем условие астатизма по
задающему воздействию: l>0.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
задающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
разомкнутой системы, или интегрирующих
звеньев в прямой цепи системы.
Нетрудно также
убедиться, что положительное значение
l
совпадает с порядком астатизма.
Для получения
признака астатизма по возмущающему
воздействию представим передаточные
функции на рисунке 10 в форме:
,
,
где l1+l2=l,
k1k2=k,
m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем
и
.
Тогда получим:
и для общего вида
возмущающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Все вышеприведенные
выводы можно повторить для показателя
степени l1.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
возмущающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
участка системы до точки приложения
воздействия, или интегрирующих звеньев
на том же участке.
Более общий подход
к оценке точности линейных систем
управления основан на получении и
использовании коэффициентов ошибок.
Рассмотрим его на примере анализа
реакции системы на задающее воздействие.
Если рассматривать
произвольный закон изменения задающего
воздействия g(t),
то эта функция времени может быть
разложена в степенной ряд относительно
аргумента t.
Члены степенного ряда, как известно,
находятся через производные
,
,
…,
,
…
В общем случае ряд
бесконечен. Поэтому с практической
точки зрения рассматривать такое
представление сигнала целесообразно
только при достаточно плавном его
изменении, когда можно ограничиться
конечным числом членов ряда, имея в
виду, что при n
большем некоторого m
можно принять
,
n>m.
Для задачи оценки
установившейся ошибки при
с формулированное допущение вполне
корректно, так как в противном случае
эта задача не имеет смысла.
Коэффициенты
ошибки получают разложением передаточной
функции замкнутой системы по ошибке в
степенной ряд (ряд Тейлора) относительно
аргумента s:
,
где коэффициенты
разложения в общем случае находят как
значения производных в точке s=0:
.
Передаточные
функции, представляющие собой отношения
полиномов, при достаточно высоком
порядке системы могут оказаться слишком
сложными для дифференцирования. Поэтому
на практике коэффициенты их разложения
в ряд чаще находят путем деления полиномов
– числителя на знаменатель.
С учетом разложения
передаточной функции в ряд можно записать
изображение по Лапласу сигнала ошибки
в следующей форме:
.
Отметим, что с
учетом сформулированного выше допущения
такое представление сигнала ошибки
соответствует
или
.
Перейдя к оригиналу
с учетом теоремы дифференцирования
получим:
.
Вернемся к
рассмотренному выше примеру и предположим,
что задающее воздействие изменяется
по произвольному закону, но при достаточно
больших значениях времени этот закон
аппроксимируется выражением
.
Найдем коэффициенты
разложения передаточной функции по
ошибке
в степенной ряд.
Здесь сразу можно
отметить, что номер первого ненулевого
члена ряда определяется низшей степенью
аргумента s
в числителе дроби, то есть первые два
коэффициента c0
и c1
здесь получаем тождественно равными
нулю.
Далее получим:
В результате
получаем
,
,
,
и так далее.
Найдем производные
задающего воздействия:
,
,
.
Ясно, что для
определения установившейся ошибки
достаточно первых трех коэффициентов:
.
В заключение
отметим, что порядок астатизма системы
по какому-либо входному сигналу совпадает
с количеством нулевых коэффициентов
ошибки, получаемых в разложении в ряд
передаточной функции по ошибке от
данного входного сигнала.
Соседние файлы в папке Конспект ТАУ
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Установившаяся ошибка
Система с обратной связью предоставляет инженеру возможность влиять на вид переходной характеристики. Кроме того, как мы уже видели, такая система позволяет значительно уменьшить ее чувствительность к изменению параметров и ослабить влияние возмущений. Однако имеет также смысл исследовать и сравнить установившуюся ошибку в разомкнутой и в замкнутой системах. Установившаяся ошибка — это ошибка, остающаяся после окончания переходного процесса, вызванного внешним воздействием.
+ ~ я»
-R(s) —— *~С>——- *
-Y(s)
G(s)
H(s)
Рис. 4.18. Разомкнутая система управления
Рис. 4.19. Замкнутая система управления В разомкнутой системе, изображенной на рис. 4.18, ошибка равна
ад=ад — ад=[і — стт. (4.48)
В замкнутой системе на рис. 4.19 при H(s) = 1 согласно (4.3)* ошибка равна
Для вычисления установившейся ошибки используется теорема о конечном значении:
lim e(t)= lims£(s). (4.50)
_ 1 —КО А—>0
Приняв для сравнения входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции, в разомкнутой системе мы получим:
е0 (о°) = limaf 1 — G(s)] ■ — = lim[l — G(s)] = 1 — G(0).
■v-»0 s -‘->0
В замкнутой системе при H(s) = 1 имеем:
Случай неединичной обратной связи рассматривается в разд. 5.8.
4.5. Установившаяся ошибка
Значение G(s) при 5 = 0 часто называют коэффициентом усиления на нулевой частоте (по постоянному току), и это значение обычно больше единицы. Следовательно, в разомкнутой системе мы получим большую установившуюся ошибку, а в замкнутой системе она будет незначительной.
Анализ выражения (4.51) показывает, что в разомкнутой системе установившаяся ошибка может равняться нулю, если обеспечить выполнение условия 6′(0) = 1. Тогда возникает естественный вопрос: а в чем же заключается преимущество замкнутой системы? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется вернуться к понятию чувствительности. Действительно, в разомкнутой системе можно так подобрать ее параметры, чтобы выполнялось условие С(0) = 1. Однако в процессе эксплуатации системы ее параметры наверняка будут изменяться под влиянием внешних факторов, что приведет к отклонению коэффициента усиления G(0) от единицы. Значит, появится отличная от нуля установившаяся ошибка, устранить которую можно только перенастроив систему. Напротив, в замкнутой системе происходит непрерывное измерение ошибки и вырабатывается сигнал, приводящий к уменьшению ее установившегося значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что побудительным мотивом к введению отрицательной обратной связи является снижение чувствительности системы к дрейфу ее параметров, неточности их настройки и внешним возмущающим факторам. Пример оригинальной системы с обратной связью приведен на рис. 4.20.
Рис. 4.20
Грип-11 — это искусственная рука в виде протеза, управляемая с помощью троса. Она может быть использована для переключения скоростей автомобиля, забивания гвоздей, нарезания помидоров и выполнения других несложных задач, требующих двух рук. Ее действие основано на тяговом усилии троса, а сила захвата изменяется в диапазоне от 0 до 110 фунтов. Рука воспроизводит движение большого и указательного пальцев и осуществляет захват, когда на трос воздействуют спинные мышцы человека. Обратная связь осуществляется человеком визуально, но он не испытывает нормального ощущения прикосновения, присущего большинству людей при осторожных действиях с предметом
Способность замкнутой системы уменьшать установившуюся ошибку, вызванную изменениями параметров и неточностью их настройки, мы проиллюстрируем следующим примером. Рассмотрим систему, в которой объект управления имеет передаточную функцию
G(s) = —. (4.53)
TS+ 1
Такая передаточная функция характерна для тепловых объектов, регуляторов напряжения или емкостей с жидкостью при регулировании уровня. При задании входной переменной в
виде единичной ступенчатой функции мы имеем R(s) = 1/5. Тогда в соответствии с (4.51) в разомкнутой системе установившаяся ошибка будет равна
е0(со) = 1 — 6X0) = 1 — К (4.54)
при согласованных единицах измерения R(s) и К. В замкнутой системе (рис. 4.19) мы имеем:
Ec(s) = R(s)-ns)R(s), где T(s) = (7(,v)/[ 1 + GH{s). Установившаяся ошибка равна
ес(оэ)= lim 41 — 7X5)] — = 1 — 7X0).
.v->0 s
Если H(s) = 1/(Т[Л + 1), то Я(0) =1 и G(0) = К. Следовательно,
ес(со) = 1 J! Le_L. (4.55)
1+ К 1+ К
В разомкнутой системе можно было бы, к примеру, задать К= 1, тогда установившаяся ошибка будет равна нулю. В замкнутой системе можно задать большое значение К, например, К = 100. Тогда установившаяся ошибка в ней составит ес(со) = 1/101.
Если теперь в силу каких-то факторов начальное значение К изменится на 10%, т. е. АК/К = 0,1, то в разомкнутой системе появится абсолютное приращение установившейся ошибки Де0(со) = 0,1, а относительное приращение составит
Ае0(со) 0,1
(4.56)
IKOI 1
т. е. также 10%. При таком же приращении АК/К = 0,1 в замкнутой системе установившаяся ошибка составит ес(со) =1/91 (при отрицательном приращении К). Следовательно, абсолютное изменение установившейся ошибки будет равно
Аес (оо ) = ——(4.57) 91 101
а относительное приращение составит
Аес (оо)
= 0,0011, (4.58)
IKOI
или 0,11%. Как говорится, результат в комментариях не нуждается.
Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …
Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик разомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависимости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …
Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отдельно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …
1. Точность импульсных систем.
Для импульсных систем, как и для непрерывных, введены
определения статической ошибки, астатизма, коэффициентов ошибок, ошибки при
гармоническом воздействии, а также средней квадратической
ошибки [13].
Установившиеся ошибки. Точность работы импульсных систем в установившемся
режиме оценивается по величине установившейся ошибки при различных типовых
входных воздействиях, наиболее характерных для исследуемой системы.
В замкнутой
импульсной системе (рис. 1.10) ошибка x, задающее воздействие g и возмущающее воздействие f связаны, как следует из
выражений (1.73) и (1.76), следующей зависимостью относительно z-изображений
X(z,s) = Xg(z,s) + Xf(z,s) = (1.105)
Выражение (1.105) содержит z-изображения двух
составляющих ошибки: Xg(z,s) — от задающего и Xf(z,s) — от возмущающего воздействий.
Установившаяся ошибка импульсной системы определяется
по предельному значению решетчатой функции (1.37):
(1.106)
где xg(¥,s) — установившаяся ошибка от задающего воздействия;
xf(¥,s) — установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.
В большинстве случаев ограничиваются рассмотрением
ошибки в дискретные моменты времени t = nT. Однако, надо иметь в виду, что
в импульсных системах могут возникать малые колебания внутри периода
дискретности в установившемся режиме.
Выражение для установившейся ошибки (1.106) при s = 0 будет
(1.107)
Установившиеся ошибки замкнутой импульсной системы от
задающего воздействия находятся при f = 0.
При g(t)
= g0 ´1(t) установившаяся ошибка определяется как
и
называется статической ошибкой или ошибкой системы по положению.
При g(t)
= g1´t установившаяся ошибка называется ошибкой системы
от скорости и определяется как
Если 
, то получаем ошибку системы от ускорения
Из последних двух выражений следует, что
установившаяся ошибка от задающего воздействия импульсной системы не только
прямо пропорциональна величине задающего воздействия, но и периоду
дискретности.
Импульсные системы классифицируются в соответствии с
числом полюсов дискретной передаточной функции разомкнутой системы W(z) при z = 1. Если дискретная
передаточная функция импульсной разомкнутой системы
,
а
W1(z) не содержит полюсов при z = 1, то при r = 0
система называется статической, при r =
1 — астатической первого порядка и т.д. В астатических системах W(1)® ¥.
Для того чтобы
импульсная система имела нулевую установившуюся ошибку от задающего
воздействия, необходимо, чтобы степень астатизма r
системы превышала степень полинома k входного
воздействия, то есть
xg(¥) = 0, если k < r ;
если k = r
;
xg(¥) = ¥, если k > r .
Коэффициенты ошибок. Если задающее воздействие g(t) имеет произвольный вид, предельное значение ошибки
вычисляется по формуле
(1.108)
где c0, c1, c2,
… — коэффициенты ошибок по
положению, скорости, ускорению и т.д.
Коэффициенты ошибок находят по дискретной передаточной
функции замкнутой импульсной системы по ошибке
для i = 0, 1, 2, …, k. (1.109)
Число коэффициентов находится в соответствии с
наибольшей степенью полинома входного воздействия.
В астатических системах несколько первых коэффициентов
ошибок равны нулю: c0 = c1 = …
= cr-1 = 0, где r — степень
астатизма.
Ошибки импульсных систем при гармоническом воздействии. Задающее синусоидальное воздействие g(t) = gmsin(wt) произвольной частоты w преобразуется на входе в решетчатое гармоническое воздействие
g[nT] = gm sin[wnT].
При этом установившаяся ошибка в линейной замкнутой
импульсной системе будет
x[nT] = xm sin[wnT+y], (1.110)
где xm = ½Фxg(ejwT)½´gm , y(w,s) = arg Фxg(ejwT).
Как установлено в разделе 1.6, в полосе пропускания
системы частотные характеристики импульсной системы практически совпадают с
частотными характеристиками ее непрерывной части, поэтому для определения
ошибки импульсной системы при гармоническом воздействии можно пользоваться
методикой для непрерывных систем.
Статистическая точность импульсных систем исследуется аналогично непрерывным
системам. При прохождении случайного сигнала через импульсную систему ее
выходная координата и ошибка воспроизведения представляют собой тоже случайные
процессы.
Качество работы импульсной системы при стационарных
случайных воздействиях оценивается средними значениями квадрата выходной
переменной
(1.111)
и
квадрата ошибки
, (1.112)
где Ф(ejwT) и Фxg(ejwT) — частотные передаточные функции замкнутой
импульсной системы;
— спектральная
плотность решетчатого случайного процесса на входе системы.