Ошибки первого и второго рода
Выдвинутая гипотеза
может быть правильной или неправильной,
поэтому возникает необходимость её
проверки. Поскольку проверку производят
статистическими методами, её называют
статистической. В итоге статистической
проверки гипотезы в двух случаях может
быть принято неправильное решение, т.
е. могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого
рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.
Ошибка второго
рода состоит в том, что будет принята
неправильная гипотеза.
Подчеркнём, что
последствия этих ошибок могут оказаться
весьма различными. Например, если
отвергнуто правильное решение «продолжать
строительство жилого дома», то эта
ошибка первого рода повлечёт материальный
ущерб: если же принято неправильное
решение «продолжать строительство»,
несмотря на опасность обвала стройки,
то эта ошибка второго рода может повлечь
гибель людей. Можно привести примеры,
когда ошибка первого рода влечёт более
тяжёлые последствия, чем ошибка второго
рода.
Замечание 1.
Правильное решение может быть принято
также в двух случаях:
-
гипотеза принимается,
причём и в действительности она
правильная; -
гипотеза отвергается,
причём и в действительности она неверна.
Замечание 2.
Вероятность совершить ошибку первого
рода принято обозначать через
;
её называют уровнем значимости. Наиболее
часто уровень значимости принимают
равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят
уровень значимости, равный 0,05, то это
означает, что в пяти случаях из ста
имеется риск допустить ошибку первого
рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия
Для проверки
нулевой гипотезы используют специально
подобранную случайную величину, точное
или приближённое распределение которой
известно. Обозначим эту величину в целях
общности через
.
Статистическим
критерием
(или просто критерием) называют случайную
величину
,
которая служит для проверки нулевой
гипотезы.
Например, если
проверяют гипотезу о равенстве дисперсий
двух нормальных генеральных совокупностей,
то в качестве критерия
принимают отношение исправленных
выборочных дисперсий:
.
Эта величина
случайная, потому что в различных опытах
дисперсии принимают различные, наперёд
неизвестные значения, и распределена
по закону Фишера – Снедекора.
Для проверки
гипотезы по данным выборок вычисляют
частные значения входящих в критерий
величин и таким образом получают частное
(наблюдаемое) значение критерия.
Наблюдаемым
значением
называют значение критерия, вычисленное
по выборкам. Например, если по двум
выборкам найдены исправленные выборочные
дисперсии
и
,
то наблюдаемое значение критерия
.
Критическая
область. Область принятия гипотезы.
Критические точки
После выбора
определённого критерия множество всех
его возможных значений разбивают на
два непересекающихся подмножества:
одно из них содержит значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а другая – при которых она принимается.
Критической
областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу
отвергают.
Областью принятия
гипотезы (областью допустимых значений)
называют совокупность значений критерия,
при которых гипотезу принимают.
Основной принцип
проверки статистических гипотез можно
сформулировать так: если наблюдаемое
значение критерия принадлежит критической
области – гипотезу отвергают, если
наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы – гипотезу
принимают.
Поскольку критерий
— одномерная случайная величина, все её
возможные значения принадлежат некоторому
интервалу. Поэтому критическая область
и область принятия гипотезы также
являются интервалами и, следовательно,
существуют точки, которые их разделяют.
Критическими
точками (границами)
называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.
Различают
одностороннюю (правостороннюю или
левостороннюю) и двустороннюю критические
области.
Правосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
>
,
где
— положительное число.
Левосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
<
,
где
— отрицательное число.
Односторонней
называют правостороннюю или левостороннюю
критическую область.
Двусторонней
называют критическую область, определяемую
неравенствами
где
.
В частности, если
критические точки симметричны относительно
нуля, двусторонняя критическая область
определяется неравенствами ( в
предположении, что
>0):
,
или равносильным неравенством
.
Отыскание
правосторонней критической области
Как найти критическую
область? Обоснованный ответ на этот
вопрос требует привлечения довольно
сложной теории. Ограничимся её элементами.
Для определённости начнём с нахождения
правосторонней критической области,
которая определяется неравенством
>
,
где
>0.
Видим, что для отыскания правосторонней
критической области достаточно найти
критическую точку. Следовательно,
возникает новый вопрос: как её найти?
Для её нахождения
задаются достаточной малой вероятностью
– уровнем значимости
.
Затем ищут критическую точку
,
исходя из требования, чтобы при условии
справедливости нулевой гипотезы
вероятность того, критерий
примет значение, большее
,
была равна принятому уровню значимости:
Р(
>
)=
.
Для каждого критерия
имеются соответствующие таблицы, по
которым и находят критическую точку,
удовлетворяющую этому требованию.
Замечание 1.
Когда
критическая точка уже найдена, вычисляют
по данным выборок наблюдаемое значение
критерия и, если окажется, что
>
,
то нулевую гипотезу отвергают; если же
<
,
то нет оснований, чтобы отвергнуть
нулевую гипотезу.
Пояснение. Почему
правосторонняя критическая область
была определена, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы выполнялось соотношение
Р(
>
)=
?
(*)
Поскольку вероятность
события
>
мала (
— малая вероятность), такое событие при
справедливости нулевой гипотезы, в силу
принципа практической невозможности
маловероятных событий, в единичном
испытании не должно наступить. Если всё
же оно произошло, т.е. наблюдаемое
значение критерия оказалось больше
,
то это можно объяснить тем, что нулевая
гипотеза ложна и, следовательно, должна
быть отвергнута. Таким образом, требование
(*) определяет такие значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а они и составляют правостороннюю
критическую область.
Замечание 2.
Наблюдаемое значение критерия может
оказаться большим
не потому, что нулевая гипотеза ложна,
а по другим причинам (малый объём выборки,
недостатки методики эксперимента и
др.). В этом случае, отвергнув правильную
нулевую гипотезу, совершают ошибку
первого рода. Вероятность этой ошибки
равна уровню значимости
.
Итак, пользуясь требованием (*), мы с
вероятностью
рискуем совершить ошибку первого рода.
Замечание 3. Пусть
нулевая гипотеза принята; ошибочно
думать, что тем самым она доказана.
Действительно, известно, что один пример,
подтверждающий справедливость некоторого
общего утверждения, ещё не доказывает
его. Поэтому более правильно говорить,
«данные наблюдений согласуются с нулевой
гипотезой и, следовательно, не дают
оснований её отвергнуть».
На практике для
большей уверенности принятия гипотезы
её проверяют другими способами или
повторяют эксперимент, увеличив объём
выборки.
Отвергают гипотезу
более категорично, чем принимают.
Действительно, известно, что достаточно
привести один пример, противоречащий
некоторому общему утверждению, чтобы
это утверждение отвергнуть. Если
оказалось, что наблюдаемое значение
критерия принадлежит критической
области, то этот факт и служит примером,
противоречащим нулевой гипотезе, что
позволяет её отклонить.
Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей***
Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей сводится (так же, как и для
правосторонней) к нахождению соответствующих
критических точек. Левосторонняя
критическая область определяется
неравенством
<
(
<0).
Критическую точку находят, исходя из
требования, чтобы при справедливости
нулевой гипотезы вероятность того, что
критерий примет значение, меньшее
,
была равна принятому уровню значимости:
Р(
<
)=
.
Двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами
Критические
точки находят, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы сумма вероятностей того, что
критерий примет значение, меньшее
или большее
,
была равна принятому уровню значимости:
.
(*)
Ясно, что критические
точки могут быть выбраны бесчисленным
множеством способов. Если же распределение
критерия симметрично относительно нуля
и имеются основания (например, для
увеличения мощности) выбрать симметричные
относительно нуля точки (-
)и
(
>0),
то
Учитывая (*), получим
.
Это соотношение
и служит для отыскания критических
точек двусторонней критической области.
Критические точки находят по соответствующим
таблицам.
Дополнительные
сведения о выборе критической области.
Мощность критерия
Мы строили
критическую область, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания в неё
критерия была равна
при условии, что нулевая гипотеза
справедлива. Оказывается целесообразным
ввести в рассмотрение вероятность
попадания критерия в критическую область
при условии, что нулевая гипотеза неверна
и, следовательно, справедлива конкурирующая.
Мощностью критерия
называют вероятность попадания критерия
в критическую область при условии, что
справедлива конкурирующая гипотеза.
Другими словами, мощность критерия есть
вероятность того, что нулевая гипотеза
будет отвергнута, если верна конкурирующая
гипотеза.
Пусть для проверки
гипотезы принят определённый уровень
значимости и выборка имеет фиксированный
объём. Остаётся произвол в выборе
критической области. Покажем, что её
целесообразно построить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Предварительно убедимся, что если
вероятность ошибки второго рода (принять
неправильную гипотезу) равна
,
то мощность равна 1-
.
Действительно, если
— вероятность ошибки второго рода, т.е.
события «принята нулевая гипотеза,
причём справедливо конкурирующая», то
мощность критерия равна 1 —
.
Пусть мощность 1
—
возрастает; следовательно, уменьшается
вероятность
совершить ошибку второго рода. Таким
образом, чем мощность больше, тем
вероятность ошибки второго рода меньше.
Итак, если уровень
значимости уже выбран, то критическую
область следует строить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Выполнение этого требования должно
обеспечить минимальную ошибку второго
рода, что, конечно, желательно.
Замечание 1.
Поскольку вероятность события «ошибка
второго рода допущена» равна
,
то вероятность противоположного события
«ошибка второго рода не допущена» равна
1 —
,
т.е. мощности критерия. Отсюда следует,
что мощность критерия есть вероятность
того, что не будет допущена ошибка
второго рода.
Замечание 2. Ясно,
что чем меньше вероятности ошибок
первого и второго рода, тем критическая
область «лучше». Однако при заданном
объёме выборки уменьшить одновременно
и
невозможно; если уменьшить
,
то
будет возрастать. Например, если принять
=0,
то будут приниматься все гипотезы, в
том числе и неправильные, т.е. возрастает
вероятность
ошибки второго рода.
Как же выбрать
наиболее целесообразно? Ответ на этот
вопрос зависит от «тяжести последствий»
ошибок для каждой конкретной задачи.
Например, если ошибка первого рода
повлечёт большие потери, а второго рода
– малые, то следует принять возможно
меньшее
.
Если
уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю.
Неймана и Э.Пирсона, можно построить
критическую область, для которой
будет минимальным и, следовательно,
мощность критерия максимальной.
Замечание 3.
Единственный способ одновременного
уменьшения вероятностей ошибок первого
и второго рода состоит в увеличении
объёма выборок.
Соседние файлы в папке Лекции 2 семестр
- #
- #
- #
- #
Пример 1
При исследовании качества выпускаемой предприятием продукции проведено обследование 100
случайно отобранных изделий. Оказалось, что 6 из них имеют брак. Пусть случайная величина X – число бракованных
изделий в партии из 1000 изделий, выпущенных тем же предприятием. Относительно случайной величины X могут быть
сформулированы, например, следующие предположения.
1)
Случайная величина X имеет биномиальное распределение B(1000; 0,06).
2)
Случайная величина X имеет биномиальное распределение B(1000, p), где 0,04 < p < 0,08.
3)
Математическое ожидание случайной величины X равно 70.
4)
Дисперсия случайной величины X не более 2,3.
5)
Вероятность того, что во всей партии будет более 80 бракованных изделий, не превосходит 90%.
6)
Вероятность того, что во всей партии будет равно 60 бракованных изделий, не менее 95%.
Определить, какие из сформулированных гипотез являются статистическими, какие
статистические гипотезы являются простыми, а какие сложными?
Решение
Запишем эти гипотезы формально.
1) ${{H}_{0}}:Xsim{ }B(1000;0,6)$.
2) ${{H}_{0}}:Xsim{ }B(1000;p), 0,04le ple 0,08$.
3) ${{H}_{0}}:{{m}_{X}}=70$.
4) ${{H}_{0}}:{{d}_{X}}le 2,3$.
5) ${{H}_{0}}:P(X>80)le 0,9$.
6) ${{H}_{0}}:P(X=60)ge 0,95$.
Все приведённые гипотезы являются параметрическими, поскольку распределение случайной величины X известно априорно
из условий эксперимента, а все гипотезы связаны так или иначе с неизвестным параметром p биномиального распределения.
Гипотезы 1) и 3) являются простыми, поскольку содержат утверждения, однозначно определяющие значение оцениваемого
параметра.
Пример 2
Исследуется качество производства элемента интегральной микросхемы на двух технологических линиях. Мерой качества
производства является дисперсия размера элементов. Результаты выборочного наблюдения размеров выпущенных
интегральных микросхем на двух технологических линиях приведены в
Примере 2*.
Пусть случайные величины X1 и X2 – размеры элементов микросхем на первой и второй линиях соответственно.
Относительно этих случайных величин могут быть сформулированы, например, следующие предположения.
1) Размер элементов микросхем, произведённых на первой линии, является нормально распределённой случайной величиной.
2) Размер элементов микросхем, произведённых на второй линии, распределён по закону N(0,25; 0,05).
3) Математические ожидания размеров элементов микросхем, произведённых на первой и второй линиях, равны.
4) Качество производства элементов микросхем на второй линии выше, чем на первой.
Определить, какие из сформулированных гипотез являются статистическими, какие
статистические гипотезы являются простыми, а какие сложными?
Решение
Запишем эти гипотезы формально.
1) ${{H}_{0}}:{{X}_{1}}sim{ }N({{m}_{1}},{{sigma }_{1}})$.
2) ${{H}_{0}}:{{X}_{2}}sim{ }N(0,25;0,05)$.
3) ${{H}_{0}}:{{m}_{1}}={{m}_{2}}$.
4) ${{H}_{0}}:sigma _{1}^{2}>sigma _{2}^{2}$.
Здесь гипотезы 3) и 4) являются параметрическими, 1) и 2) – непараметрическими. Гипотезы 2) и 3) – простые, 1) и 4) – сложные.
Пример 3
Наблюдаемый объект может быть либо своим, либо объектом противника. Система обнаружения
относит объект к одному из классов по результатам нескольких замеров определённых характеристик. Основная
гипотеза H0: объект свой; альтернативная гипотеза H’: объект чужой. В чём состоят ошибки
первого и второго рода?
Решение
Результат замера определённой характеристики объекта является случайной величиной
вследствие погрешности измерительного прибора, влияния на результат измерения внешних случайных факторов или вследствие
иных причин. Однако, вывод о том, является ли объект своим или чужим, должен проводиться на основе истинных значений этих
характеристик. Для этой цели выдвигается статистическая гипотеза.
Ошибка первого рода возникнет, если в результате проверки статистического критерия
будет принято решение о том, что характеристики объекта соответствуют своему объекту, в то время как на самом деле объект
является объектом противника («пропущен чужой»).
Ошибка второго рода возникнет, если в результате проверки статистического критерия будет
принято решение о том, что характеристики объекта соответствуют объекту противника, в то время как на самом деле объект
является своим («уничтожен свой»).
Пример 4
Технология производства элемента интегральной микросхемы удовлетворяет производственным нормам,
если вероятность брака в элементе не более 0,01. Соответствие производственным нормам проводится на основе выборочного
наблюдения 1000 элементов. Если не более, чем 15 элементов, имеют брак, то считается, что производственные нормы соблюдены.
В противном случае делается вывод о несоответствии технологии производства нормам.
Пусть p – вероятность брака в элементе интегральной микросхемы.
Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:
$H_0:ple 0,01,$
$H’:p>0,01.$
Ответить на следующие вопросы.
1)
Какая статистика критерия используется в данной задаче, каковы её распределение и область значений?
2)
Какое решающее правило для проверки основной гипотезы используется в данной задаче. Какова область допустимых значений и критическая область?
3)
В чём состоят ошибки первого и второго рода?
Решение
По условию задачи статистическое решение принимается на основе значения случайной
величины Z – числа бракованных элементов в серии из 1000. Таким образом, случайная величина Z является
статистикой критерия. Очевидно, что $Zsim{ }B(1000,p)$. Возможные значения статистики Z: 0, 1, …, 1000.
Решающее правило: если z ≤ 15, то H0 принимается,
если z > 15, то H0 отвергается. Таким образом, область допустимых
значений ${{Omega }_{0}}={0,…,15}$, критическая область $Omega ‘={16,…,1000}$.
Ошибка первого рода возникнет, если число бракованных элементов в выборке из 1000 будет
более 15 (гипотеза H0 будет отвергнута), при этом вероятность брака в отдельном элементе p ≤ 0,01,
т.е. будет принято решение о несоответствии производственным нормам, в то время как на самом деле соответствие есть.
Ошибка второго рода возникнет, если число бракованных элементов в выборке из 1000 будет
не более 15 (гипотеза H0 будет принята), при этом вероятность брака в отдельном
элементе p > 0,01, т.е. будет принято решение о соответствии производственным нормам, в то время как на самом
деле соответствия нет.
Пример 5
В условиях Примера 4 выдвигаются следующие основная и альтернативная гипотезы относительно
вероятности p брака в элементе интегральной микросхемы:
$ {{H}_{0}}:p=0,01, $
$H’:p>0,01.$
Построить функцию мощности статистического критерия: если выборочное значение z
статистики критерия Z – числа бракованных изделий из n = 1000 – не более 15, то H0 принимается,
если z > 15, то H0 отвергается.
Решение
Запишем выражение для вероятности β ошибки второго рода при условии, что
вероятность p = p1, где $p_1 in (0;infty)$:
$beta ({{p}_{1}})=P(Zin {{Omega }_{0}}|p={{p}_{1}})$.
Статистика критерия Z при условии, что p = p1 имеет
биномиальное распределение B(1000, p1). Согласно теореме Муавра-Лапласа, при больших n
биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным:
$Zsim{ }N({{m}_{Z}},{{sigma }_{Z}})$,
где ${{m}_{Z}}({{p}_{1}})=n{{p}_{1}}$ и ${{sigma }_{Z}}({{p}_{1}})=n{{p}_{1}}(1-{{p}_{1}})$.
Учитывая, что область допустимых значений статистики критерия ${{Omega }_{0}}={0,…,15}$,
запишем
$beta ({{p}_{1}})=P(0le Zle 15|p={{p}_{1}})=P(0le {{sigma }_{Z}}({{p}_{1}})U+{{m}_{Z}}({{p}_{1}})le 15)=Pleft( -frac{{{m}_{Z}}({{p}_{1}})}{{{sigma }_{Z}}({{p}_{1}})}le Ule frac{15-{{m}_{Z}}({{p}_{1}})}{{{sigma }_{Z}}({{p}_{1}})} right)=Pleft( -frac{1}{1-{{p}_{1}}}le Ule frac{15-n{{p}_{1}}}{n{{p}_{1}}(1-{{p}_{1}})} right)=Phi left( frac{15-n{{p}_{1}}}{n{{p}_{1}}(1-{{p}_{1}})} right)-Phi left( -frac{1}{1-{{p}_{1}}} right),$
где $ U sim N(0,1)$ – стандартизованная нормально распределённая случайная величина, а Ф – функция Лапласа.
Вычисляя с помощью таблиц математической статистики вероятность β(p1) для нескольких
значений p1, строим функцию мощности критерия $mu ({{p}_{1}})=1-beta ({{p}_{1}})$ поточечно.
Вероятность ошибки первого рода: $ alpha =P(Zin Omega ‘|{{H}_{0}})=P(Z>15|p=0,01)=1-beta (0,01)=mu (0,01)approx 0,46.$
Экспериментальное исследование
Решения задач на проверку статистических гипотез
Проверка статистических гипотез включает в себя большой пласт задач математической статистики. Зная некоторые характеристики выборки (или имея просто выборочные данные), мы можем проверять гипотезы о виде распределении случайной величины или ее параметрах.
В учебных задачах речь обычно идет о простой гипотезе $H_0$ (ее называют нулевой), однозначно определяющей закон распределения. Вместе с ней вводят альтернативную гипотезу $H_1$ (конкурирующую) и определяют уровень значимости $alpha$, на котором будет сделан вывод о справедливости гипотезы.
Далее по выборочным данным вычисляется значение статистического критерия (формула зависит от конкретной гипотезы) и выясняется, попадает ли оно в критическую область (одностороннюю или двустороннюю). Если попадает — нулевую гипотезу следует отвергнуть. При проверке гипотез есть вероятность допустить ошибку: первого рода (верная гипотеза отклонена, $alpha$) или второго рода (неверная гипотеза принята, $beta$).
Ниже в примерах мы разберем основные учебные задачи на проверку гипотез о значении среднего, дисперсии, вероятности, о равенстве числовых характеристики. Задачи на проверку гипотез о виде распределения (с помощью критерия согласия Пирсона и других) ищите тут: Проверка гипотез о законе распределения.
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Примеры решений на проверку гипотез онлайн
Гипотеза о равенстве среднего значения числу
Пример 1. Утверждается, что шарики для подшипников, изготовленные автоматическим станком, имеют средний диаметр 10 мм. Используя односторонний критерий с α=0,05, проверить эту гипотезу, если в выборке из n шариков средний диаметр оказался равным 10,3 мм, а дисперсия известна и равна 1 мм.
Пример 2. Продавец утверждает, что средний вес пачки чая составляет 100 г. Из партии извлечена выборка и взвешена. Вес каждой пачки — см. таблицу вариантов. Не противоречит ли это утверждению продавца? Доверительная вероятность 99%. Вес пачек чая распределен нормально.
Гипотеза о равенстве дисперсии числу
Пример 3. По результатам $n=7$ независимых измерений найдено, что $overline{x}=82,48$ мм, а $S=0,08$ мм. Допустив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение проверить на уровне значимости $alpha=0,05$ гипотезу $H_0: sigma^2=0,01$ мм$^2$. против конкурирующей гипотезы $H_0: sigma^2=0,005$ мм$^2$. В ответе записать разность между фактическим и табличным значениями выборочной характеристики.
Пример 4. Компания не осуществляет инвестиционных вложений в ценные бумаги с дисперсией годовой доходности более чем 0,04. Выборка из 52 наблюдений по активу А показала, что выборочная дисперсия ее доходности равна 0,045.Выяснить, допустимы ли для данной компании инвестиционные вложения в актив А на уровне значимости: а) 0,05; б) 0,01.
Гипотеза о равенстве вероятности числу
Пример 5. Фирма рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Фирма разослала 1000 каталогов новой, улучшенной, формы и получила 100 заказов. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать, что новая форма рекламы существенно лучше прежней.
Пример 6. Обычно применяемое лекарство снимает послеоперационные боли у 80% пациентов. Новое лекарство, применяемое для тех же целей, помогло 90 пациентам из первых 100 оперированных. Можно ли на уровне значимости а = 0,05 считать, что новое лекарство лучше? А на уровне а = 0,01?
Гипотеза о равенстве средних
Пример 7. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшит жесткость воды. По оценке жесткости воды до после добавления специальных веществ по 40-ка и 50-ти пробам соответственно получим средние значения жесткости (в стандартных единицах), равные 4,0 и 0,8. Дисперсия измерений в обоих случаях предполагается равно 0,25. Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект? Принять $alpha=0,05$. Контролируемая величина имеет нормальное распределение.
Пример 8. Производительность каждого из агрегатов А и В составила (в кг вещества за час работы)
Номер замера 1 2 3 4 5
Агрегат А 14,1 13,1 14,7 13,7 14,0
Агрегат В 14,0 14,5 13,7 12,7 14,1
Можно ли считать производительность агрегатов А и В одинаковой в предложении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей, при уровне значимости a = 0,1?
Гипотеза о равенстве дисперсий
Пример 9. До наладки станка была проверена точность изготовления 10 втулок и найдено значение оценки дисперсии диаметра $s_1^2=9,6$ мкм$^2$. После наладки подверглись контролю еще 15 втулок и получено новое значение оценки дисперсии $s_2^2=5,7$ мкм$^2$. Можно ли считать, что в результате наладки станка точность изготовления деталей увеличилась? Принять $alpha=0,05$.
Пример 10. При уровне значимости $alpha=0,1$ проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин Х и Y на основе выборочных данных (табл. 4) при альтернативной гипотезе $H_1: sigma_x^2 ne sigma_y^2$.
Гипотеза о равенстве вероятностей
Пример 11. Из 200 задач первого раздела курса математики, предложенных для решения, абитуриенты решили 130, а из 300 задач второго раздела абитуриенты решили 120. Можно ли при α=0,01 утверждать, что первый раздел школьного курса абитуриенты усвоили лучше, чем второй.
Пример 12. Выборочная проверка надежности материнских плат 2-х производителей дала следующие результаты: в течения месяца после продажи в 15 из 200 материнских плат производителя А обнаружены дефекты, тогда как среди 400 материнских плат производителя В 8% оказались дефектами. Существенны ли различия в надежности материнских плат производителей А и В? Уровень значимости принять равным 0,01.
Нужно решить задачи на проверку статистических гипотез?
Полезные ссылки
- Проверка гипотез о законе распределения по критерию Пирсона
- Что такое проверка статистической гипотезы?
- Решение задач на заказ
- Ссылки на учебники
- Решенные контрольные
Решебник по математической статистике
Ищете решенное задание на проверку статистических гипотез? Попробуйте тут: