Задачи на ошибку выборки

Задачи по статистике с решением — Выборочное наблюдение

Решения задач по выборочному наблюдению

Задача 1 по статистике

При проверке импортирования груза на таможне методом случайной выборки было обработано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30г., при СКО=4г с вероятностью 0,997. Определите пределы в которых находится средний вес изделий генеральной совокупности.

Решение.

В данном примере – случайный повторный отбор.

n=200

=30г

=4г — СКО

p=0,997, тогда t=3

Формула средней ошибки для случайного повторного отбора:

=0,84 г

г

Определяем величину средней ошибки.

Ответ: пределы в которых находится средний вес изделий: г

Задача 2

В городе проживает 250тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-я бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распространение семей по числу детей:

P=0,954. Найти пределы в которых будет находится среднее число детей в генеральной совокупности.

Число детей в семье, xi	0	1	2	3	4	5
Кол-во детей в семье	1000	2000	1200	400	200	200

Решение

2%-я выборка означает:

n=250000*0,02= 5000 семей было исследовано.

Т.к. выборка бесповторная, используем следующую формулу для определения средней величины ошибки:

Найдем среднее число детей в выборочной совокупности:

ребенка

Определим дисперсию

ребенка – средняя величина ошибки

Т.к p = 0,954, то t = 2

ребенка

ребенка

Вывод: из-за слишком малой величины ошибки, среднее число детей в генеральной совокупности можно принять за 1,5 ребенка.

Задача 3

С целью определения средней фактической продолжительности рабочего дня в гос. учреждении с численностью служащих 480 человек была проведена 25%-ная механическая выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери рабочего времени достигали более 45 мин.в день. С вероятностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день.

Решение. Определим объем выборочной совокупности: n=480*0.25=120 чел.

Выборочная доля w по условию 10%.Учитывая, что показатели точности механической и собственно случайной бесповторной выборки определяются одинаково, а также то, что при P=0,683 t=1, предельная ошибка выборочной доли: =

Ответ: пределы в которых находится средняя доля % или: г

Т.о., с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников учреждения с потерями рабочего времени более 45 мин. в день находится в пределах от 7,6 до 12,4 %.

Задача 4 по статистике

В АО 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что дисперсия доли бесповторной выборки равна 225. с вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.

Численность выборки для бесповторного отбора:

бригад

Решение типовых задач

Пример
1.
Для изучения оснащения заводов основными
про­изводственными фондами было
проведено 10%-ное выборочное обследование,
в результате которого получены следующие
данные о распределении заводов по
стоимости основных производственных
фондов:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	До 2	2 – 4	4 – 6	Свыше 6	Итого
Число заводов	5	12	23	10	50

Требуется
определить: 1) с вероятностью 0,997 предельную
ошибку выборочной средней и границы, в
которых будет находиться среднегодовая
стоимость основных производственных
фондов всех заводов генеральной
совокупности; 2) с вероятностью 0,954
предельную ошибку выборки при определении
доли и границы, в которых будет находиться
удельный вес заводов со стоимостью
основных производ­ственных фондов
свыше 4 млн. руб.

Решение.
Предельная
ошибка выборки (ошибка репрезентативности)
исчисляется по формуле:

,

где
μ
– средняя ошибка репрезентативности;

t
–
коэффициент кратности ошибки, показывающий,
сколько средних ошибок содержится в
предельной ошибке.

Пределы
возможной ошибки (∆) определяются с
вероятностью. Значение t
найдем
по таблице интеграла вероятностей.

Для Соответствует
вероятность

t
= 1 Р
=0,683;

t
= 2 Р
=0,954;

t
= 3 Р
=0,997
и т. д.

Конкретное
количественное выражение предельная
ошибка принимает после определения
средней ошибки выборки. Для нахождения
ошибки репрезентативности собственно
чайной и механической выборок имеются
нижеследующие формулы.

Повторная
выборка при
определении:

среднего
размера ошибки признака (1)

средней
ошибки доли признака (2)

Бесповторная
выборка
при определении:

среднего
размера ошибки признака (3)

средней
ошибки доли признака (4)

N
– численность генеральной совокупности;

п
– численность выборочной совокупности;

²
– дисперсия варьирующего (осредняемого)
признака в выбороч­ной совокупности;

ω
– доля данного признака в выборке;

(1
– ω) – доля противоположного признака
в выборке.

1.
Для определения границ генеральной
средней необ­ходимо исчислить среднюю
выборочную ()и
дисперсию (²),
техника расчета которых приведена в
таблице:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб., х	Число заводов, f	Середина интервала, х	х f	х —	(х — )2	(х — )2 f
До 2	5	1	5	-3,52	12,39	61,95
2 – 4	12	3	36	-1,52	2,31	27,72
4 – 6	23	5	115	0,48	0,23	5,29
Свыше 6	10	7	70	2,48	6,15	61,50
	50		226			156,46

Тогда

млн.
руб.;

.

Для
упрощения расчетов средней и дисперсии
можно использовать способ моментов.
Техника расчетов
и
²
по способу моментов изложена в первой
части брошюры «Прак­тикум по общей
теории статистики».

Итак
имеются данные: N
= 500, п
= 50 заводов; ²
= 3,13.

Средняя
ошибка выборки при определении
среднегодовой .стоимости основных
фондов составит:

а)
при повторном отборе (по формуле 1) –

≈
±
0,25 млн. руб.;

б)
при бесповторном отборе (по формуле 3)
–

≈ ±
0,24 млн. руб.;

Следовательно,
при определении среднегодовой стоимости
основных производственных фондов в
среднем мы могли до­пустить среднюю
ошибку репрезентативности в 0,25 млн.
руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при
бесповторном от­боре в ту или иную
сторону от среднегодовой стоимости
ос­новных производственных фондов,
приходящейся на один завод в выборочной
совокупности. Исчисленные данные
по­казывают, что при бесповторной
выборке средняя ошибка репрезентативности
(0,24) меньше, чем при тех же условиях при
повторном отборе (0,25).

В
нашем примере Р
=
0,997, следовательно, t
= 3.

Исчислим
предельную ошибку выборочной средней
(∆_х):
∆_х
= ±3μ; т. е. ∆_х
= = ±3 × 0,25 = ±0,75 млн. руб. (при повтор­ном
отборе); ∆_х
= ±3 × 0,24 = ±0,72 млн. руб. (при бесповторном
отборе).

Порядок
установления пределов, в которых
находится средняя величина изучаемого
показателя в генеральной со­вокупности
в общем виде, может быть представлен
следую­щим образом:

;

Для
нашего примера среднегодовая стоимость
основных производственных фондов в
среднем на один завод генеральной
совокупности будет находиться в следующих
пределах.

а)
при повторном отборе –

=
4,52 ± 0,25 или 4,27 млн. руб. ≤

≤
4,77
млн.
руб.;

б)
при бесповторном отборе –

=
4,52 ± 0,24 или 4,28 млн. руб. ≤

≤
4,76 млн. руб.

Эти
границы можно гарантировать е вероятностью
0,997.

2.
Вычисление пределов при установлении
доли осуще­ствляется аналогично
нахождению пределов для средней величины.
В общем виде расчет можно представить
следующим образом:

; ,

где
р
–
доля единиц, обладающих данным признаком
в генеральной совокупности.

Доля
заводов в выборочной совокупности со
стоимость основных производственных
фондов свыше 4 млн. руб. со­ставляет:

,
или 66%.

Определяем
предельную ошибку для дели. По условию
задачи известно, что N
= 500; n
= 5; ω = 0,66; Р
= 0,954; t
= 2.

Исчислим
предельную ошибку доли:

при
повторном отборе (по формуле 2) –

,
или 13,4%;

при
бесповторном отборе (по формуле 4) –

,
или 12,7%.

Следовательно,
с вероятностью 0,954 доля заведен се
стоимостью основных производственных
фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной
совокупности будет находиться в пределах:

р
= 66% ± 13,4%, или 52,6% ≤ р ≤ 79,4% при повторном
отборе;

р
= 66%
± 12,7%, или 53,3% ≤ р ≤ 78,7% при бесповторном
отборе.

Расчеты
убеждают в том, что при бесповторном
отборе ошибка выборки меньше, чем при
тех же условиях при повторной выборке.

Пример
2.
Используя данные предыдущей задачи,
требуется ответить, каким должен быть
объем выборочной совокупности при
условии, что: 1) предельная ошибка выборки
при определении среднегодовой стоимости
основных производ­ственных фондов
(с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5
млн. руб.; 2) то же при вероятности 0,954; 3)
предельная ошибка доли (с вероятностью
0,954) была бы не более 15%.

Решение.
Для нахождения численности случайной
и механической выборок имеются следующие
четыре формулы:

Повторный
отбор Бесповторный
отбор

При
определении

среднего
размера

ошибки
признака

(5); (6);

При
определении

ошибки
доли признака

(7); (8).

1)
Известно, что N
= 500;

= 0,5 млн. руб.; ²
= 3,13; Р
= 0,997; t
= 3.

Найдем
объем выборки для расчета ошибки средней:

при
повторном отборе (по формуле 5) –

заводов;

при
бесповторном отборе (по формуле 6) –

завода.

2)
Известно, что N
= 500;

= 0,5 млн. руб.; ²
= 3,13; Р
= 0,954; t
= 2.

Определим
объем выборки при бесповторном отборе
(по формуле 6):

завода.

3)
Известно, что N
= 500;

= 0,5 млн. руб.; ω =
0,66; Р
= 0,954; t
= 2.

Объем
выборки для расчета ошибки доли будет:
при повторном отборе (по формуле 7) –

заводов;

при
бесповторном отборе (по формуле –

заводов.

Выводы:
1) численность выборки увеличится, если
при прочих равных условиях уменьшить
предельную ошибку; 2) численность выборки
уменьшится, если при прочих рав­ных
условиях уменьшить вероятность, с
которой требуется гарантировать
результат выборочного обследования;
3) численность выборки уменьшится, если
при прочих равных условиях увеличить
предельную ошибку.

Пример
3.
На заводе 1000 рабочих вырабатывают
одноименную продукцию. Из них со стажем
работы до пяти лет трудятся 400 чел., а
более пяти лет – 600 чел. Для изучения
среднегодовой выработки и установления
доли квалифицированных рабочих проведена
10%-ная типическая выборка с отбором
единиц пропорционально численности
рабочих по указанным группам (внутри
групп применялся случайный метод
отбора).

На
основе обследования получены следующие
данные:

Группы рабочих со стажем работы	Общая численность рабочих, чел., N	Число обследованных рабочих, чел., п	Средне­дневная выработка, шт.,	Дисперсия выработки, Число	Число рабочих в выработке, чел., m	Доля рабочих,
До 5 лет (включ-но)	400	40	25	81	32	0,8
Свыше 5 лет	600	60	30	64	54	0,9
Итого	1000	100

Определим:
1) с вероятностью 0,954 предельную ошибку
выработки и границы, в которых будут
находиться среднедневная выработка
всех рабочих завода; 2) с той же вероятностью
пределы удельного веса квалифицированных
рабочих в общей численности рабочих
завода.

Решение.
1) Средняя ошибка типической выборки
определяется по формуле:

(9)

где

–
средняя
из внутригрупповых дисперсий.

Она
исчисляется по формуле:

;

Тогда

.

Определим
среднюю ошибку выборки при бесповторном
отборе (по формуле 9) :

шт.

Техника
расчета предельной ошибки при типической
вы­борке аналогична вышеизложенному
расчету предельной ошибки при случайном
отборе:

или
;

Подставив
данные, получим:

= ± 2 × 0,83 = ± 1,6 шт.

Для
определения возможных пределов
среднедневной вы­работки всех рабочих
завода первоначально нужно исчис­лить
среднедневную выработку в выборочной
совокупности по средней арифметической
взвешенной:

шт.

Пределы
среднедневной выработки всех рабочих
завода:
= 28 ± 1,6 шт.

С
вероятностью 0,954 можно утверждать, что
среднеднев­ная выработка всех рабочих
завода находится в пределах 26,4 шт. ≤
≤
29,6 шт.

2)
Средняя ошибка репрезентативности для
доли исчис­ляется по формуле:

(10)

где

– дисперсия доли ()
является средней из внутри групповых
дисперсий.

Эта
величина исчисляется по формуле:

Технику
расчета покажем в таблице:

Группы рабочих со стажем работы	Числен­ность рабочих,	Доля квали­фициро­ванных рабочих,	Доля малоквалифицированных рабочих,	Дисперсия доли	Взвешенный показатель дисперсии,
До 5 лет	40	0,8	0,2	0,16	6,4
Свыше 5 лет	60	0,9	0,1	0,09	5,4
Итого	100				11,8

Тогда

.

Определим
среднюю ошибку репрезентативности для
доли (по формуле 10):

,
или ± 3,2%.

Исчислим
среднюю ошибку выборочной доли с
вероятностью 0,954:

,
или 6,4%.

Расчет
предела при установлении доли в общем
виде представляется следующим образом:

.

Определим
среднюю долю для выборочной совокупности:

,
или 86%.

Отсюда:
р
= 86% ± 6,4%.

Вывод:
с вероятностью 0,954 можно утверждать,
что доля квалифицированных рабочих на
заводе будет находить­ся в пределах
79,6% ≤ р
≤ 92,4%.

Пример
4.
С целью определения среднего
эксплуатационного пробега 10000 шин
легковых автомобилей, распределенных,
на партии по 100 шт., проводится серийная
4%-ная бесповторная выборка. Результаты
испытания отобранных шин характеризуются
следующими данными:

Показатели	Партии
1	2	3	4
Средний эксплуатационный пробег шин, тыс. км	40	42	45	48
Доля шин с пробегом не ме­нее 42 тыс. км	0,80	0,85	0,90	0,95

Определите:
1) средние ошибки репрезентативности:
а) эксплуатационного пробега шин; б)
удельного веса шин с пробегом не менее
42 тыс. км; 2) с вероятностью 0,954 пределы,
в которых будет находиться: а) средний
эксплуа­тационный пробег всех
обследуемых шин; б) доля шин, про­бег
которых не менее 42 тыс. км в генеральной
совокупности.

Решение.
1) При бесповторном отборе серий средняя
ошибка репрезентативности определяется
по формулам:

для
средней –

(11)

для
доли –

(12)

где
R
– число серий в генеральной совокупности;

r
– число отобранных серий;

– межсерийная
дисперсия средних;

–
межсерийная
дисперсия доли.

Сначала
исчислим обобщающие показатели.

Средний
эксплуатационный пробег шин:

тыс.
км.

Средний
удельный вес шин с пробегом не менее 42
тыс. км равен:

(или
87,5%)

Межсерийная
дисперсия определяется по формулам:
для средней –

для
средней –

;

для
доли –

.

Для
ее расчета построим вспомогательную
расчетную таб­лицу:

№ партии	Средний пробег шин, тыс. км.,			Доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км.,
1	40	-3,75	14,06	0,8	-0,075	0,005625
2	42	-1,76	3,06	0,85	-0,025	0,000625
3	45	1,25	1,56	0,90	0,025	0,000625
4	48	4,25	18,06	0,95	0,075	0,005625
Итого			36,74			0,012500

Тогда

; .

Определим
средние ошибки репрезентативности:

для
средней (по формуле 11) –

тыс.
км.;

для
доли (по формуле 12) –

,
или ± 2,74%.

2)
Определим с вероятностью 0,954 предельные
ошибки репрезентативности для средней
и для доли:

тыс.
км.;

%.

Отсюда
средний эксплуатационный пробег
всех обсле­дуемых шин будет находиться
в пределах:

=

±

= 43,75 ± 3,0, или 40,75 тыс. км ≤ х
≤ 46,75 тыс. км.

Средний
удельный вес шин с пробегом не менее 42
тыс. км в генеральной совокупности будет
находиться в пределах:

p
=

±
=
87,5% ± 5,5%, или 82,0% ≤ р
≤
93,0%.

Пример
5.
Используя условие и решение предыдущей
задачи, определите вероятность того,
что: а) предельная ошибка выборки при
установлении среднего эксплуатационного
про­бега шин не превышает 4,0 тыс. км;
б) доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км
будет находиться в пределах от 83% До
92%.

Решение.
При определении вероятности используется
формула предельной ошибки:

.

В
нашем примере следует использовать
формулу пре­дельной ошибки серийного
отбора.

а)
Дано: R
= 100; r
= 4;
= 43,75 тыс. км;

= 9,185;

= 4,0 тыс. км.

Требуется
определить вероятность того, что разница
сред­них величин эксплуатационного
пробега шин в выборочной и генеральной
совокупности не превысит ± 4,0 тыс. км,
т. е.

р
|

–

|
≤ 4,0 тыс. км.

Подставляем
данные в формулу:

;

;

.

По
таблице значений вероятностей находим,
что при t
= 2,67
вероятность будет 0,992.

Следовательно,
с вероятностью 0,992 можно гарантиро­вать,
что средний эксплуатационный пробег
шин легковых автомобилей в генеральной
совокупности будет находиться в пределах
39,75 тыс. км ≤
≤ 47,75 тыс. км;

б)
Дано: R
= 100; r
= 4;
= 87,5%;

= 0,003125;

= 4,5%.

Требуется
определить: p
|
–р
| ≤ 4,5%, т. е. вероятность того, что доля
шин с пробегом не менее 42 тыс. км в
вы­борочной совокупности не будет
отклоняться от доли гене­ральной
совокупности более чем на 4,5%.

Подставив
данные в формулу

(см.
решение выше), получим 4,5% = t
× 2,74%;

,
тогда Р
= 0,899.

Следовательно,
вероятность того, что удельный вес шин
с пробегом не менее 42 тыс. км будет
находиться в преде­лах от 83% до 92%,
равна 0,899.

Соседние файлы в папке статистика

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Повторный и бесповторный отбор.
Ошибка выборки

Краткая теория

---

На основании выборочных данных дается оценка статистических
показателей по всей (генеральной) совокупности. Подобное возможно, если выборка
основывается на принципах случайности отбора и репрезентативности
(представительности) выборочных данных. Каждая единица генеральной совокупности
должна иметь равную возможность (вероятность) попасть в выборку.

При формировании выборочной совокупности используются следующие
способы отбора: а) собственно-случайный отбор; б) механическая выборка; в)
типический (районированный) отбор; г) многоступенчатая (комбинированная)
выборка; д) моментно-выборочное наблюдение.

Выборка может осуществляться по схеме повторного и бесповторного
отбора.

В первом случае единицы совокупности, попавшие в выборку, снова
возвращаются в генеральную, а во втором случае – единицы совокупности, попавшие
в выборку, в генеральную совокупность уже не возвращаются.

Выборка может осуществляться отдельными единицами или сериями
(гнездами).

Собственно-случайная выборка

Отбор в этом случае производится либо по жребию, либо по таблицам
случайных чисел.

На основании приемов классической выборки решаются следующие
задачи:

а) определяются границы среднего значения показателя по генеральной
совокупности;

б) определяются границы доли признака по генеральной совокупности.

Предельная ошибка средней при собственно-случайном отборе
исчисляется по формулам:

а) при повторном отборе:

б) при бесповторном отборе:

где

 – численность выборочной совокупности;

 – численность генеральной совокупности;

 – дисперсия признака;

 – критерий кратности ошибки: при

;
при

;
при

.

Значения

 
определяются

по таблице функции Лапласа.

Границы (пределы) среднего значения признака по генеральной
совокупности определяются следующим неравенством:

где

 – среднее значение признака по выборочной
совокупности.

Предельная ошибка доли при собственно-случайном отборе определяется
по формулам:

а) при повторном отборе:

при бесповторном отборе:

где

 – доля единиц совокупности с заданным
значением признака в обзей численности выборки,

 – дисперсия доли признака.

Границы (пределы) доли признака по всей (генеральной) совокупности
определяются неравенством:

где

 – доля признака по генеральной совокупности.

Типическая (районированная) выборка

Особенность этого вида
выборки заключается в том, что предварительно генеральная совокупность по
признаку типизации разбивается на частные группы (типы, районы), а затем в
пределах этих групп производится выборка.

Предельная ошибка средней
при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:

где

 – средняя из внутригрупповых дисперсий

 по каждой типичной группе.

При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности
средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

где

 – численности единиц совокупности групп по выборке.

Границы (пределы) средней по генеральной совокупности на основании
данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что при
собственно-случайной выборке. Только предварительно необходимо вычислить общую
выборочную среднюю

 из частных выборочных средних

.
Для случая пропорционального отбора это определяется по формуле:

При непропорциональном отборе средняя из  внутригрупповых дисперсий вычисляется по
формуле:

где

 – численность единиц групп по генеральной
совокупности.

Общая выборочная средняя в этом случае определяется по формуле:

Предельная ошибка доли
признака при типическом бесповторном отборе определяется формулой:

Средняя дисперсия доли
признака из групповых дисперсий доли

 при
типической пропорциональной выборке вычисляется по формуле:

Средняя доля признака по
выборке из показателей групповых долей рассчитывается формуле:

Средняя дисперсия доли при
непропорциональном типическом отборе определяется следующим образом:

а средняя доля признака:

Формулы ошибок выборки при типическом повторном отборе будут те же,
то и для случая бесповторного отбора. Отличие заключается только в том, что в
них будет отсутствовать по корнем сомножитель

.

Серийная выборка

Серийная ошибка выборки
может применяться в двух вариантах:

а) объем серий различный

б) все серии имеют
одинаковое число единиц (равновеликие серии).

Наиболее распространенной
в практике статистических исследований является серийная выборка с
равновеликими сериями. Генеральная совокупность делится на одинаковые по объему
группы-серии

 и
производится отбор не единиц совокупности, а серий

. Группы (серии) для обследования отбирают в
случайном порядке или путем механической выборки как повторным, так и
бесповторными способами. Внутри каждой отобранной серии осуществляется сплошное
наблюдение. Предельные ошибки выборки

 при
серийном отборе исчисляются по формулам:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

где

 – число
серий в генеральной совокупности;

 – число
отобранных серий;

 – межсерийная дисперсия, исчисляемая для случая равновеликих
серий по формуле:

где

 –
среднее значение признака в каждой из отобранных серий;

 – межсерийная
средняя, исчисляемая для случая равновеликих серий по формуле:

Определение численности выборочной совокупности

При проектировании
выборочного наблюдения важно наряду с организационными вопросами решить одну из
основных постановочных задач: какова должна быть необходимая численность
выборки с тем, чтобы с заданной степенью точности (вероятности) заранее
установленная ошибка выборки не была бы превзойдена.

Примеры решения задач

---

Задача 1

На основании результатов проведенного на заводе 5%
выборочного наблюдения (отбор случайный, бесповторный) получен следующий ряд
распределения рабочих по заработной плате:

Группы рабочих по размеру заработной платы, тыс.р.	до 200	200-240	240-280	280-320	320 и выше	Итого
Число рабочих	33	35	47	45	40	200

На основании приведенных данных определите:

1) с вероятностью 0,954 (t=2) возможные пределы, в которых
ожидается средняя заработная плата рабочего в целом по заводу (по генеральной
совокупности);

2) с вероятностью 0,997 (t=3) предельную ошибку и границы доли
рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Вычислим среднюю з/п: Для этого просуммируем произведения середин
интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму
частот.

2) Выборочная дисперсия:

Найдем доверительный интервал для средней. Предельная ошибка выборочной
средней считается по формуле:

где

 —

аргумент функции Лапласа.  

Искомые возможные пределы, в которых ожидается средняя заработная плата
рабочего в целом по заводу:

Найдем доверительный интервал для выборочной доли. Предельная ошибка
выборочной доли считается по формуле:

Доля рабочих с з/п от 320 тыс.р.:

 

Искомые границы доли рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше:

---

Задача 2

В
городе 23560 семей. В порядке механической выборки предполагается определить
количество семей в городе с числом детей трое и более. Какова должна быть
численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала
0,02 человека. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна
0,3.

Решение

Численность
выборки можно найти по формуле:

В нашем случае:

Вывод к задаче

Таким образом численность
выборки должна составить 2661 чел.

---

Задача 3

С
целью определения средней месячной заработной платы персонала фирмы было
проведено 25%-ное выборочное обследование с отбором
единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников
внутри каждого филиала использовался механический отбор. Результаты
обследования представлены в следующей таблице:

Номер филиала	Средняя месячная заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение, руб.	Число сотрудников, чел.
1	870	40	30
2	1040	160	80
3	1260	190	140
4	1530	215	190

С
вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной заработной платы всех
сотрудников гостиниц.

Решение

Предельная
ошибка выборочной средней:

Средняя
из внутригрупповых дисперсий:

Получаем:

Средняя
месячная заработная плата по всей совокупности филиалов:

Искомые
пределы средней месячной заработной платы:

Вывод к задаче

Таким
образом с вероятностью 0,954 средняя месячная заработная плата всех сотрудников
гостиниц находится в пределах от 1294,3 руб. до 1325,7 руб.

Мода и медиана в статистике

Особый вид средних величин — структурные средние — применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды — наиболее часто повторяющегося значения признака — и медианы — величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой — не меньше его.
Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется.
Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:
,
где XMe — нижняя граница медианного интервала;
hMe — его величина;
am/2- половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);
SMe-1 — сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;
mMe — число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).
При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интер­вального ряда с равными интервалами величина моды определяется как
,
где  ХMo — нижнее значение модального интервала;
mMo — число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);
mMo-1 — то же для интервала, предшествующего модальному;
mMo+1 — то же для интервала, следующего за модальным;
h — величина интервала изменения признака в группах.

Понятие об ошибке выборки. Методы расчета ошибки выборки

Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу – по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц.
После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.
Простая случайная выборка (собственно-случайная) есть отбор единиц из генеральной совокупности путем случайного отбора, но при условии вероятности выбора любой единицы из генеральной совокупности. Отбор проводится методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.Типическая (стратифицированная) выборка предполагает разделение неоднородной генеральной совокупности на типологические или районированные группы по какому-либо существенному признаку, после чего из каждой группы производится случайный отбор единиц.
Для серийной (гнездовой) выборки характерно то, что генеральная совокупность первоначально разбивается на определенные равновеликие или неравновеликие серии (единицы внутри серий связаны по определенному признаку), из которых путем случайного отбора отбираются серии и затем внутри отобранных серий проводится сплошное наблюдение.
Механическая выборка представляет собой отбор единиц через равные промежутки (по алфавиту, через временные промежутки, по пространственному способу и т.д.). При проведении механического отбора генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы, из которых затем отбирается по одной единице.
Комбинированная выборка основана на сочетании нескольких способов выборки.
Многоступенчатая выборка есть образование внутри генеральной совокупности вначале крупных групп единиц, из которых образуются группы, меньшие по объему, и так до тех пор, пока не будут отобраны те группы или отдельные единицы, которые необходимо исследовать.
Выборочный отбор может быть повторным и бесповторным. При повторном отборе вероятность выбора любой единицы не ограничена. При бесповторном отборе выбранная единица в исходную совокупность не возвращается.
Для отобранных единиц рассчитываются обобщенные показатели (средние или относительные) и в дальнейшем результаты выборочного исследования распространяются на всю генеральную совокупность.
Основной задачей при выборочном исследовании является определение ошибок выборки. Принято различать среднюю и предельную ошибки выборки. Для иллюстрации можно предложить расчет ошибки выборки на примере простого случайного отбора.
Расчет средней ошибки повторной простой случайной выборки производится следующим образом:
cредняя ошибка для средней

cредняя ошибка для доли

Расчет средней ошибки бесповторной случайной выборки:
средняя ошибка для средней

средняя ошибка для доли

Расчет предельной ошибки  повторной случайной выборки:
предельная ошибка для средней

предельная ошибка для доли
где t — коэффициент кратности;
Расчет предельной ошибки бесповторной случайной выборки:
предельная ошибка для средней

предельная ошибка для доли

Следует обратить внимание на то, что под знаком радикала в формулах при бесповторном отборе появляется множитель, где N — численность генеральной совокупности.
Что касается расчета ошибки выборки в других видах выборочного отбора (например, типической и серийной), то необходимо отметить следующее.
Для типической выборки величина стандартной ошибки зависит от точности определения групповых средних. Так, в формуле предельной ошибки типической выборки учитывается средняя из групповых дисперсий, т.е.

При серийной выборке величина ошибки выборки зависит не от числа исследуемых единиц, а от числа обследованных серий (s) и от величины межгрупповой дисперсии:

Серийная выборка, как правило, проводится как бесповторная, и формула ошибки выборки в этом случае имеет вид

где — межсерийная дисперсия; s — число отобранных серий; S — число серий в генеральной совокупности.
Все вышеприведенные формулы применимы для большой выборки. Кроме большой выборки используются так называемые малые выборки (n < 30), которые могут иметь место в случаях нецелесообразности использования больших выборок.
При расчете ошибок малой выборки необходимо учесть два момента:
1) формула средней ошибки имеет вид

2) при определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где Р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.
В статистических исследованиях с помощью формулы предельной ошибки можно решать ряд задач.
1. Определять возможные пределы нахождения характеристики генеральной совокупности на основе данных выборки.
Доверительные интервалы для генеральной средней можно установить на основе соотношений

где — генеральная и выборочная средние соответственно; — предельная ошибка выборочной средней.
Доверительные интервалы для генеральной доли устанавливаются на основе соотношений
 
2. Определять доверительную вероятность, которая означает, что характеристика генеральной совокупности отличается от выборочной на заданную величину.
Доверительная вероятность является функцией от t, где

Доверительная вероятность по величине t определяется по специальной таблице.
3. Определять необходимый объем выборки с помощью допустимой величины ошибки:

Чтобы рассчитать численность п повторной и бесповторной простой случайной выборки, можно использовать следующие формулы:
(для средней при повторном способе);
(для средней при бесповторном способе);
(для доли при повторном способе);
(для доли при бесповторном способе).

Задача 1

Определите индекс покупательской способности рубля, если в текущем году денежные средства на покупку товаров составили 860 млн. руб., денежные средства на оплату услуг 300 млн. руб. В планируемом году денежные средства на покупку товаров возрастут на 15% , денежные средства на оплату услуг увеличатся на 80 млн. рублей , цены на товары возрастут на 70% , ЦЕНЫ НА УСЛУГИ ВОЗРАСТУТ НА 20% Сделайте выводы.

Решение:

Рассчитаем планируемые показатели
Денежные средства на покупку товаров=860*1,15=989 млн. руб.
Денежные средства на оплату услуг=300+80=380 млн. руб.
Сведем все значения в таблицу.

Наименование	Денежные средства, млн. руб.	Цена
Текущий год	Планируемый год	Текущий год	Планируемый год
Товары	860	989	1	1,7
Услуги	300	380	1	1,2

Рассчитаем индекс цен.

Индекс покупательской способности рубля=1/Индекс цен
Индекс покупательской способности рубля=1/1,56=0,64

За счет повышения цены покупательская способность рубля снизилась  на 64%.

Задача 2

Рассчитайте среднюю выработку продавца по магазину по показателям:

секция	Дневная выработка продавца тыс. руб.	товарооборот тыс. руб.
1	3500	18600
2	4210	26000

Решение:
По формуле средней гармонической взвешенной:

Средняя выработка продавца по магазину равна 3878,26 тыс. руб.

Задача 3

Для определения сроков пользования краткосрочным кредитом в коммерческом банке города была проведена 5% случайная бесповторная выборка лицевых счетов, в результате которой получено следующее распределение клиентов по сроку пользования кредитом (таблица 1):

Срок пользования кредитом (дней)	Число вкладчиков (чел.)
До 30	60
30 – 45	40
45 – 60	120
60 – 75	80
Свыше 75	50

По данным таблицы постройте не менее трёх видов статистических графиков, возможных для этого исследования.

Решение:

1) На основе данных задачи построим гистограмму распределения числа вкладчиков в зависимости от срока пользования кредитом.

Рис. 1. Гистограмма распределения числа вкладчиков
в зависимости от срока пользования кредитом

2) На основе данных задачи построим круговую диаграмму, отражающую число вкладчиков, имеющих различные сроки пользования кредитом, в общей их совокупности.

Рис. 2. Круговая диаграмма, отражающая число вкладчиков,
имеющих различные сроки пользования кредитом, в общей численности вкладчиков обследуемой совокупности.

3) На основе данных задачи построим диаграмму фигур-знаков, отражающую распределения числа вкладчиков в зависимости от срока пользования кредитом.
Одна фигура-знак  означает число вкладчиков от 10 человек.
Срок пользования кредитом до 30 дней:
Срок пользования кредитом от 30 до 45 дней:
Срок пользования кредитом от 45 до 60 дней:

Срок пользования кредитом  от 60 до 75 дней:

Срок пользования кредитом более 75 дней:

Срок пользования кредитом до 30 дней:

Рис. 3. Диаграмма фигур-знаков  распределения числа вкладчиков
в зависимости от срока пользования кредитом

Задача 4

В таблице 2 показано распределение рабочих монтажной бригады по уровню квалификации (разрядам).

Табельный номер	219	220	221	222	223	224	226	227	230	231	232	233	234	235	236
Разряд	4	4	7	6	4	6	4	5	2	4	2	5	2	5	6
Табельный номер	237	238	239	240	243	244	245	246	247	248	250	258	259	260	261
Разряд	2	5	4	6	7	3	7	6	4	6	3	5	4	6	5

Используя данные таблицы 2, выполните задания:

1. Сгруппируйте рабочих по разрядам, постройте новую группировочную таблицу.
2. Найдите моду, медиану и средний разряд рабочих данной бригады. Объясните, что означают полученные Вами значения средней величины, моды и медианы в данном исследовании.
3. Постройте круговую диаграмму распределения рабочих по уровню квалификации.
4. Найдите, какую долю составляют рабочие каждого разряда в общей численности рабочих бригады.

Решение:

1. Сгруппируем рабочих по разрядам:
Таблица 1

Разряд	2	3	4	5	6	7
Число рабочих	4	2	8	6	7	3

2. Модой (М0) в дискретном ряду распределения называется вариант, имеющий наибольшую частоту.
Варианты (хi) – разряды;
частоты (ni) – число рабочих, имеющих соответствующий разряд
В данном случае М0=4.
Медиана (Ме) – это значения варианта для которого значение накопленной частоты составляет не менее половины от общего числа наблюдений, а для следующего за ним варианта, значение накопленной частоты строго больше половины от общего числа наблюдений.
Рассчитаем накопленные частоты:
Таблица 2

Разряд (хi)	2	3	4	5	6	7
Число рабочих (ni)	4	2	8	6	7	3
Накопленная частота	4	6	14	20	27	30

Ме=5
Средний разряд рабочих найдем по формуле средней арифметической взвешенной:


Полученные значения средней величины, моды и медианы означают следующее: в квалификация рабочего монтажной бригады в среднем соответствует разряду уровня 4,6; наибольшее число рабочих в бригаде имеет 4-ый разряд; половина рабочих бригады имеет разряд не выше 5-го и половина – не ниже 5-го разряда.
3. Построим круговую диаграмму распределения рабочих по уровню квалификации.

Рис. 4.  Круговая диаграмма распределения рабочих по уровню квалификации
4. Рассчитаем, какую долю составляют рабочие каждого разряда в общей численности рабочих бригады по формуле:

Доля рабочих 2-го разряда в общей численности рабочих бригады составляет:
 или 13,3%
Доля рабочих 3-го разряда в общей численности рабочих бригады составляет:
 или 6,7%
Доля рабочих 4-го разряда в общей численности рабочих бригады составляет:
 или 26,7%
Доля рабочих 5-го разряда в общей численности рабочих бригады составляет:
 или 20%
Доля рабочих 6-го разряда в общей численности рабочих бригады составляет:
 или 23,3%
Доля рабочих 7-го разряда в общей численности рабочих бригады составляет:
 или 10%

Задача 5

В таблице  имеются данные об общей численности пенсионеров РФ в исследуемые годы.

Используя данные таблицы 3, выполните задания:

1. Определите вид статистического ряда, представленного в таблице.
2. По данным таблицы определите основные показатели динамики.
3. Определите среднюю численность пенсионеров в исследуемый период. Обоснуйте  применённую Вами формулу.
4. По данным таблицы постройте динамический график численности пенсионеров в исследуемый период.
5. Постройте парную линейную регрессию численности пенсионеров в исследуемый период.
6. Используя построенную модель регрессии, сделайте прогноз на 2010  год и сравните с реальной ситуацией. Данные о численности пенсионеров в 2010 году можно найти в СМИ. Не забудьте указать источник информации.

Решение:

1. Статистического ряд, представленный в таблице представляет собой ряд динамики.
2. По данным таблицы определите основные показатели динамики.
Важнейшим статистическим показателем анализа динамики  яв­ляется абсолютный прирост (сокращение), т.е. абсолютное изменение, характеризующее увеличение или уменьшение уровня ряда за оп­ределенный промежуток времени. Абсолютный прирост с пере­менной базой называют скоростью роста.
Абсолютные приросты вычисляются по формулам:
 (цепной)
 (базисный)
где yi — уровень сравниваемого периода; yi-1— уровень предшествующего периода; У0 — уровень базисного периода.
Для оценки интенсивности, т. е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени ис­числяют темпы роста (снижения).
Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному.
Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выра­женный в долях единицы, называется коэффициентом роста, а в процентах — темпом роста. Эти показатели интенсивности из­менения отличаются только единицами измерения.
Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым произ­водится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Темп роста всегда представляет собой положительное число.
Коэффициент роста вычисляются по формулам:
(цепной)
  (базисный)
Темпы  роста:
 (цепной)
  (базисный)
Темпы  прироста:
 (цепной)
  (базисный)
Абсолютное значение одного процента прироста Ai . Этот показатель служит косвенной мерой базисного уровня. Представляет собой одну сотую часть базисного уровня, но одновременно представляет собой и отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста.
Данный показатель рассчитывают по формуле

Расчеты показателей оформим в таблице.
Таблица 3

Годы	Численность пенсионеров, тыс. чел.	Абсолютные приросты,                  тыс. чел.	Коэффициенты роста	Темпы роста, %	Темп прироста,      %	Абсолютное содержание 1% прироста, тыс. чел.
цеп	баз	цеп	баз	цеп	баз	цеп	баз
1995	37083	—	—	—	—	—	—	—	—	—
2000	38411	1328	1328	1,0358	1,0358	103,58	103,58	3,58	3,58	370,83
2005	38313	-98	1230	0,9974	1,0332	99,74	103,32	-0,26	3,32	384,11
2007	38467	154	1384	1,0040	1,0373	100,40	103,73	0,40	3,73	383,13
2008	38598	131	1515	1,0034	1,0409	100,34	104,09	0,34	4,09	384,67

3. Определим среднюю численность пенсионеров в исследуемый период. Средний уровень интервального ряда с разностоящими уровнями вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

(тыс.чел.)
4. По данным таблицы постройте динамический график численности пенсионеров в исследуемый период.

Рис. 4.  Динамический график численности пенсионеров в исследуемый период
5. Постройте парную линейную регрессию численности пенсионеров в исследуемый период.
Х – номер года; Y – численность пенсионеров
Для расчета параметров а и b  линейной регрессии  решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

Из системы коэффициенты линейной регрессии a и b определяются по формулам:


Расчеты оформим в таблице:
Таблица 4

№ п/п	Х	Y	ХY	X2
1	1995	37083	73980585	3980025
2	2000	38411	76822000	4000000
3	2005	38313	76817565	4020025
4	2007	38467	77203269	4028049
5	2008	38598	77504784	4032064
Итого	10015	190872	382328203	20060163
Среднее значение	2003	38174,4	76465640,6	4012033

Уравнение парной линейную регрессии численности пенсионеров определяется формулой:

6. Используя построенную модель регрессии, сделаем прогноз на 2010  год
Данные о численности пенсионеров в 2010 году взяты из статистического сборника «Российский статистический ежегодник» — Стат.сб./Росстат. — М., 2011.
Численность пенсионеров в 2010 году составляла 39706 тыс. чел.
Прогноз численности пенсионеров на основе полученной модели составляет:
 (тыс.чел.)
Сравним прогнозные данные с реальной ситуацией: реальная численность пенсионеров в 2010 году превышает численность, полученную при расчете по уравнению парной регрессии, на 2,15% или 834 тыс. чел.

Задача по выборочному наблюдению

Проведено выборочное тестирование студентов факультета по экономическим дисциплинам. Численность факультета 850 студентов, объем выборки, сформированной методом бесповторного отбора — 24 студента. Результаты тестирования приведены в таблице. По этим данным определить выборочные средний балл, дисперсию и стандартное отклонение. Вычислить ошибку выборки, найти границы доверительного интервала, в котором окажется средняя генеральной совокупности с вероятностью 0,866 и 0,997.

№ п/п	Оценка  (в	№ п/п	Оценка  (в баллах)	№ п/п	Оценка  (в	№ п/п	Оценка  (в
	баллах)		баллах)		баллах)
1	112	7	105	13	98	19	95
2	95	8	108	14	95	20	115
3	119	9	110	15	111	21	94
4	98	10	101	16	115	22	105
5	112	11	117	17	130	23	121
6	95	12	99	18	104	24	111