Закон сложения ошибок

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет

им. П. Г. Демидова

В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,

В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова

Лабораторная работа № 1

Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ярославль 2013

1

1.1.2. Типы погрешностей измерений

Значения физических величин находят опытным путем, поэтому они все содержат погрешность измерений. Поскольку никакие измерения не могут быть выполнены абсолютно точно, их результаты всегда содержат некоторую ошибку X. Поэтому в задачу измерений входит не только нахож-

дение максимально точного значения величины, а определение интервала, в котором оно лежит, и вероятности, с которой результаты измерений в него укладываются.

Классы точности приборов

Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие приведенной погрешности Eп (класса точности).

Приведенная погрешность Eп – это отношение абсолютной погрешности X к предельному значению Xmax величины, измеряемому данным прибором

Eп = X 100%.

Xmax

По приведенной погрешности приборы делятся на семь классов: 0.1; 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4. Приборы класса точности 0.1; 0.2; 0.5 применяют для точных лабораторных измерений (прецизионные). В технике применяют приборы классов 1.0; 1.5; 2.5; 4 (технические). Приборы, у которых значение класса выше 4, считаются индикаторами, т. к. об измерениях ими с какой-либо приемлемой точно-

стью речь не идёт. Класс точности прибора указывается на его шкале и означает его погрешность, выраженную в процентах от максимального значения на ней.

Погрешности цифровых приборов обычно указываются в их технической документации. Если таковая отсутствует, то величину ошибки можно определить следующим образом. Для измерительных (прецизионных) приборов она составляет 1/2 от единицы наименьшего разряда в данном

диапазоне (поскольку такие приборы, как правило, являются многопредельными). Т. е., если мы имеем вольтметр, который измеряет значения напряжения в интервале от −9.999 В до +9.999 В, то его погрешность будет равна ±0.0005 В. Для приборов технического класса величина погрешности

принимается в единицу наименьшего разряда, для вольтметра с таким же диапазоном она будет равна ±0.001 В.

Для приборов, класс точности которых не указан, принято считать, что их погрешность равна половине точности.

Систематическая погрешность

Одной из основных забот при производстве измерений должны быть учет и исключение систематических ошибок, которые в ряде случаев могут быть так велики, что совершенно исказят результаты измерений. Ошибки, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, называются систематическими.

Систематические ошибки можно разделить на три группы:

Группа 1 — ошибки, природа которых известна и величина может быть достаточно точно определена. Их можно в дальнейшем учесть и исключить, скорректировав конечный результат. Такие ошибки называются поправками. При определении длины к поправкам относятся, например, удлинение, обусловленное изменением температуры измеряемого тела и измерительной линейки. Источники таких ошибок нужно тщательно анализировать, величины поправок определять и учитывать в окончательном результате. Величина поправок, которые есть смысл вводить, устанавливается в зависимости от величин других ошибок, сопровождающих измерение. Также к таким ошибкам относятся случаи, когда отсчёт измерения приходится вести не от нулевого значения шкалы прибора.

Группа 2 — ошибки известного происхождения, но неизвестной величины, их ещё называют инструментальными. К их числу относится погрешность измерительных приборов, которая определяется классом точности или иным способом. Если на приборе указан класс точности 0.5, то это означает, что показания прибора правильны с точностью до 0.5 процентов от всей действующей шкалы прибора. Иначе говоря, вольтметр с пределом измерения до 150 В и классом точности 0.5 дает ошибку в измерении напряжения не более 0.75 В. Очевидно, что нет ни-

какого смысла пытаться с помощью такого вольтметра измерять напряжение с точностью до 0.01 В. В отличие от первой группы, эти систематические ошибки не могут быть исключены,

но их наибольшее значение, как правило, известно, и если мы, измеряя напряжение с помощью вышеуказанного вольтметра, получили U = 65.3 В, то следует писать U = 65.30 ± 0.75 В.

Больше ничего о величине сказать невозможно.

Группа 3 — самые опасные ошибки, о существовании которых мы не подозреваем, хотя их величина может быть очень значительна. Такие ошибки возникают, например, при измерении напряжения на высокоомной нагрузке с помощью вольтметра, входное сопротивление которого одного порядка с сопротивлением нагрузки. Для устранения ошибок третьей группы нужно всегда очень аккуратно продумывать методику измерений, тщательно учитывать параметры приборов, и чем сложнее опыт, тем больше оснований думать, что какой-то источник систематических погрешностей остался неучтенным.

Случайная погрешность

Погрешности, величина которых различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Источниками случайных ошибок при физических измерениях могут являться, например, случайные изменения питающих напряжений, колебания температуры.

Промахи

Случайные погрешности, источником которых является недостаток внимания экспериментатора, называются промахами. Для устранения промахов нужно соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записях результатов. Иногда можно выявить промах, повторив измерение в несколько отличных условиях, например перейдя на другой участок шкалы прибора.

Вероятность случайного события

Случайными называются такие события, о появлении которых не может быть сделано точного предсказания. Характеристикой частоты появления случайного события является его вероятность. Если возможно n благоприятных и m неблагоприятных событий, то вероятность благоприятного

Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки

Для того чтобы выявить случайную ошибку измерений, необходимо повторить измерение несколько раз. Если каждое измерение дает несколько отличные от других измерений результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная ошибка играет существенную роль.

Рис. 1.1. Форма кривой Гаусса

В подавляющем большинстве простых измерений случайные ошибки подчиняются следующим закономерностям:

1)Ошибки измерений Xi могут принимать непрерывный ряд значений.

2)При большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.

3)Частота появления ошибок уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.

Закон распределения ошибок описывается формулой Гаусса

где Y (x) – плотность распределения случайной величины x (плотность вероятности), x – среднее значение величины x, σ – дисперсия измерений. Величина σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений. Чем меньше σ, тем точнее проведено измерение.

Более подробная информация о распределении Гаусса содержится в Приложении Г. Форма кривой Гаусса показана на рис. 1.1.

Вообще говоря, дисперсия – очень важное понятие, которое используется при математической обработке физических измерений. Её величина определяется на каждом шаге итерации, и, сравнивая текущее и предыдущее значения σ2, можно управлять выбором расчётных параметров, с тем

чтобы быстро привести результат вычислений к заданному уровню точности.

Чаще всего ошибкой измерения называют среднюю квадратичную погрешность. Различают среднюю квадратичную погрешность единичного измерения и среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического. Средняя квадратичная погрешность единичного измерения (стандартное отклонение) имеет вид:

Примечание. Многие программы обработки данных имеют встроенную функцию для вычисления стандартного отклонения. К примеру в пакете MS Excel эта функция называется СТАНДОТКЛ, в Open O ce Calc и Libre O ce Calc – STDDIV, в MATLAB и его клонах (Octave, Scilab, FreeMat, O-Matrix и т. п.) – std(x), где “x” – массив данных.

Если число наблюдений очень велико, то величина Sn стремится к σ.

σ = lim Sn.

n→∞

Собственно говоря, именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Квадрат этой величины называется дисперсией измерений. Иногда применяется среднеарифметическая ошибка:

При достаточно большом числе наблюдений (практически n > 30) существуют зависимости Sn =

1.25Zn или Zn = 0.8Sn.

Предположим, что значение измеряемой величины равно x . Ее среднее арифметическое значение, полученное в результате серии измерений, равно x , а погрешность измерений этой величины Δx . Вероятность α того, что результат измерений отличается от среднего значения на величину, не

вается доверительным интервалом. Выражение (1.8) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала (x − x) ÷ (x + x). Разу-

меется, для большей доверительной вероятности большим получается и доверительный интервал. Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления были проделаны, и их результаты

сведены в таблицу Д.1 (Приложение Д). Приведем примеры пользования таблицей Д.1.

1. Пусть для некоторого ряда измерений получены х = 1.27; σ = 0.032.

Какова вероятность α того, что результат отдельного измерения не выйдет за пределы, определяе-

мые неравенством

1.26 < xi < 1.28.

Доверительные границы равны ±0.01, что составляет в долях σ

0.01/0.032 = 0.31 = ε.

Из таблицы Д.1 находим, что доверительная вероятность для ε = 0.3 равна 0.24. Иначе говоря, примерно 1/4 измерений уложится в интервал ошибок ±0.01.

2. Какой доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы примерно 98%

результатов попали в него?

Из таблицы Д.1 находим, что значению α = 0.98 соответствует значение ε = 2.4, следовательно, X = σε = 0.032· 2.4 ≈ 0.077 и указанной доверительной вероятности соответствует интервал

1.193 < x < 1.347,

или, округляя,

1.19 < x < 1.35.

Результат записывают в виде

х = 1.27 ± 0.08.

Рис. 1.2. Типовые значения доверительной вероятности при доверительном интервале x = Sn, x = 2Sn и x = 3Sn

с указанием доверительной вероятности α = 0.98.

Таким образом, для нахождения случайной ошибки нужно определить два числа: доверительный интервал (величину ошибки) и доверительную вероятность.

Для погрешности x = Sn доверительная вероятность α будет составлять 0.68. Для x = 2Sn

– 0.9, и для x = 3Sn – 0.997 (см. рис. 1.2). Приведенные здесь три значения α полезно помнить,

так как обычно, когда в книгах или статьях дается значение средней квадратичной ошибки, уже не указывается соответствующая ей доверительная вероятность.

Закон сложения случайных ошибок

Если измеряемая величина z является суммой (или разностью) двух величин x и y, результаты измерений которых независимы, тогда дисперсии Sz этих величин связаны соотношением

т. е. средняя квадратичная ошибка суммы (или разности) двух (или нескольких величин) независимых величин равна квадратному корню из суммы средних квадратичных ошибок отдельных слагаемых. Для средних арифметических ошибок закон сложения будет тот же самый

q

Zz = Zx2 + Zy2. (1.10)

Из закона сложения ошибок следуют два чрезвычайно важных вывода:

а) Вклад отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения. Этот вывод всегда нужно иметь в виду и при повышении точности измерений в первую очередь уменьшать ошибку, имеющую большую величину.

б) Средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений n

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Разумеется, это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой.

1.1.3.Определение доверительного интервала и доверительной вероятности

Очевидно, важно знать, насколько может уклоняться от истинного значения x0 среднее арифметическое х измерений. Для этого можно воспользоваться таблицей Д.1, взяв вместо величины σxi

При применении формул (1.12) и (1.13) считается известной средняя квадратичная погрешность σ. Для того чтобы определить последнюю, нужно сделать очень много измерений, что не всегда

возможно и удобно. В тех случаях, когда выполняются измерения с помощью уже хорошо исследованного метода, ошибки которого известны, заранее известна и величина σ. Однако, как правило,

погрешность метода приходится определять в процессе измерений. Обычно можно определить только величину Sn, соответствующую сравнительно небольшому числу измерений (см. формулу 1.4). Если для оценки доверительной вероятности α считать, что Sn совпадает с σ, и пользоваться таблицей Д.1, то получаются неверные значения α.

Из формулы (1.14) видно, что tα,n – величина, аналогичная ε. Она играет ту же роль, но в случае, когда число измерений, из которых определена ошибка Sn, не очень велико. Значения величины tα,n, носящей название коэффициента Стьюдента, вычислены для различных значений n и α приведены

в таблице Д.2 (Приложение Д).

Сравнивая приведенные в ней данные с табл. Д.1, легко убедиться, что при больших n величины tα,n стремятся к соответствующим значениям ε. С увеличением n, Sn стремится к σ. Используя

коэффициенты Стьюдента, равенство (1.8) можно переписать в виде

Пользуясь этим соотношением и таблицей Д.2, легко определить доверительные интервалы и доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений.

Пример. Среднее арифметическое x из 5 измерений равно 31.2. Средняя квадратичная ошибка, определенная из этих 5 измерений, равна 0.24. Найти доверительную вероятность того, что x отличается от истинного значения х не более чем на 0.2, так как будет выполняться неравенство

31 < x < 31.4.

Значение tα,n найдем, подставив наши величины в формулу (1.14):

√

tα,n = 0.2 × 5 = 1.86. 0.24

По таблице Д.2 находим для n = 5 при tα,n = 1.5 , α = 0.8; при tα,n = 2.1 α = 0, 9. Вообще говоря,

можно удовлетвориться ответом, что доверительная вероятность для этого случая лежит между 0.8 и 0.9. Если необходимо получить более точное значение, применяют метод интерполяции. В рассматриваемом примере получается α = 0, 86.

1.1.4. Погрешность определения погрешности

Если средняя квадратичная ошибка Sn определяется из очень большого числа измерений, то получается величина, как угодно мало отличающаяся от своего предельного значения σ. Но когда n невелико, то Sn отягчена случайными погрешностями. Для определения доверительного интервала, в котором находится σ при заданной доверительной вероятности α, пользуются таблицей Д.3

(Приложение Д) в соответствии с алгоритмом

P γ1Sn < σ < γ2Sn = α. (1.16)

Приведем два примера пользования таблицей Д.3.

1. Средняя квадратичная погрешность, определенная из 5 измерений, равна 2. Нужно вычислить доверительный интервал для σ с надежностью 0, 95.

Из таблицы Д.3 имеем для n = 5 и α = 0.95, γ1 = 0, 599 и γ2 = 2, 87. Для σ можно записать неравенство, выполняемое с вероятностью 0.95

0.599 × 2 < σ < 2.87 × 2 или 1.2 < σ < 5.7.

2. При 40 измерениях γ1 = 0.821, γ2 = 1.28

1.6 < σ < 2.6.

По сравнению с первым случаем здесь интервал значительно уже´ и почти симметричный.

1.1.5. Необходимое число измерений

Для уменьшения случайной ошибки результата могут быть использованы два пути: улучшение точности измерений, т. е. уменьшение σ, и увеличение числа измерений, т. е. использование

соотношения, аналогичного (1.12):

Предположим, что все возможности совершенствования техники измерений (т. е. первый путь) уже исчерпаны. Пусть систематическая ошибка измерений равна δ. Известно, что уменьшать случай-

ную ошибку целесообразно до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. Практически должно выполняться требование

где x – полуширина доверительного интервала для величины σ. Надежность α, с которой требуется установить доверительный интервал, в большинстве случаев не должна превышать 0, 95. Для оценки необходимого числа измерений приведена таблица Д.5 (Приложение Д), в которой x дано

в долях средней квадратичной ошибки.

Пример. Измеряется напряжение с помощью вольтметра, имеющего погрешность в 1 В. Средняя квадратичная погрешность измерений равна 2.3 В. Сколько измерений нужно проделать, чтобы получить ошибку не более 1.5 В с надежностью 0.95?

Положим

Из таблицы Д.5 находим в колонке α = 0.95 для ε = 0.3, n = 46 и для ε = 0.2, n = 99. Методом

интерполяции определяем, что для

1.1.6. Обнаружение промахов

Если осуществляется ряд одинаковых измерений, подверженных случайным ошибкам, то в этом ряду могут встретиться измерения с очень большими случайными ошибками. Однако большие ошибки имеют малую вероятность, и если среди результатов измерений встретится одно, имеющее резко отличное от других значение, то мы будем склонны приписать такой результат промаху и отбросить его как заведомо неверный. Естественно, следует объективно оценить, является ли данное измерение промахом или же результатом случайного, но совершенно закономерного отклонения.

Для оценки вероятности β случайного появления выскакивающих значений в ряду n измерений (для n < 25) на основании результатов, даваемых теорией вероятностей, была составлена таблица Д.4 (Приложение Д). При пользовании этой таблицей вычисляется среднее арифметическое x и средняя квадратичная погрешность Sn всех измерений, включая подозреваемое xk, которое, на

наш взгляд, недопустимо велико или мало.

Вычисляется относительное уклонение этого измерения от среднего арифметического, выраженное в долях средней квадратичной ошибки

По таблице Д.4 находится, какой вероятности β соответствует полученное значение Θmax. Разумеется, следует договориться, при каких значениях β будет отбрасываться (считаться промахом) измерение. Таблица Д.4 составлена так, что наименьшее значение β = 0.01. Оставлять измерения,

вероятность появления которых меньше этой величины, обычно нецелесообразно.

Пример. Среднее арифметическое значение измеряемой величины, полученное из 15 измерений, равно 257.1, средняя квадратичная погрешность Sn = 2.6. Определить, является ли промахом одно из измерений, равное 266.0.

Находим:

Θmax = 266 − 257.1 = 3.42. 2.6

Наибольшее значение Θmax для n = 15, приведенное в таблице Д.4, равно 2.8, чему соответствует β = 0.01. Так как с ростом Θmax соответствующее значение β уменьшается, то при Θmax = 3.42 должно быть значительно меньше 0.01. Из того, что β 0.01, следует, что результат 266 надо

отбросить, считая его промахом.

Если вероятность появления данного измерения в ряду лежит в промежутке 0.1 > β > 0.01,

то представляется одинаково правильным как оставить это измерение, так и отбросить. Решая вопрос об отбрасывании выскакивающего измерения, полезно посмотреть, как сильно оно меняет окончательный результат.

В тех случаях, когда β выходит за указанные пределы, вопрос об отбрасывании решается просто. При n, большем 25, оценку β можно производить с помощью соотношения:

Здесь α – доверительная вероятность, определяемая для нормального распределения (α берется из таблицы Д.1, полагая Sn = σ).

1.1.7. Учёт систематической и случайной ошибки

Измерения следует проводить так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематической ошибкой измерений, которая обычно задается погрешностью измерительного прибора. Для этого следует определенным образом выбирать необходимое число измерений. Однако это не всегда удается сделать. В результате часто приходится мириться с положением, когда систематическая и случайная ошибки измерений соизмеримы друг с другом, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. При этом в качестве верхней границы суммарной ошибки можно принять

где δ – систематическая ошибка, σ – среднеквадратичная ошибка. Данная оценка верна с вероятностью не менее 0.95.

Отклонения результатов измерения $x$ от истинного значения
$x_0$ (которое обычно неизвестно) называют ошибками
измерения $|x — x_0|.$
Ошибки измерений принято разделять на две группы: систематические и
случайные (или статистические) ошибки.

Теория ошибок справедлива только для случайных ошибок. Рассмотрим наиболее простой случай,
когда одна и та же физическая величина измеряется $N$ раз.
Если измеряемая величина $x$ изменяется непрерывно, то область полученных значений разделяют на некоторое
количество интервалов одинаковой ширины $Delta x$ и, далее, определяют количество измерений,
попавших в каждый из этих интервалов ($x_i pm frac 12 Delta x$). Такое частотное
распределение представляют с помощью диаграммы (гистограммы).

Для описания серий измерений удобно вместо
$N_i$ — количества результатов,
попавших в класс $x_i$ ввести относительные частоты
$n_i = frac{N_i}{N},$ нормированные на единицу.
При увеличении числа измерений $n$ это
распределение стремится к теоретическому распределению
вероятностей, которое характеризует результаты бесконечного числа опытов. Существование теоретического
распределения вероятностей является
основополагающим предположением теории ошибок, которое,
строго говоря, нельзя проверить экспериментально.
Математически предел при $Nto infty$ для каждого класса $x_i$
выражается в виде
$$
P(x_i)=limlimits_{nto infty}frac{N_i}{N}; hspace{10pt} sum_{i}P(x_i)=1.
$$
Величина $P$ есть не что иное, как вероятность попадания измеряемого значения в $i$–тый интервал при одном измерении.

Теоретическое распределение вероятностей переходит при $Delta xto 0$ в гладкую кривую. Вероятность
попадания исхода одного измерения $x$ в интервал $Delta x$ равна $p(x)Delta x.$ Функцию $p(x)$ называют плотностью вероятности. Вероятность $P$ попадания результата
измерения в интервал $[x_1,x_2]$ равна
$$
P(x_1leqslant xleqslant x_2)=int limits_{x_1}^{x_2} p(x), dx.
$$
Вероятность попадания исхода одного измерения в
область от $-infty$ до $x$ в математической
статистике называют функцией распределения $F(x):$
$$
F(x)=int limits_{-infty}^{x} p(xi), dxi.
$$
Теоретическая функция распределения в сжатой форме содержит
всю информацию, которую можно получить из опыта, в том числе и истинное значение измеряемой
величины $x_0.$ Эту величину для дискретного распределения значений $x$ называют арифметическим
средним $E:$
$$
x_0=overline{x}=E(x)=sum_{i}x_iP(x_i),
$$
а в случае непрерывного распределения:
$$
x_0=overline{x}=E(x)=int limits_{- infty}^{infty} xp(x), dx
=int limits_{- infty}^{infty} x, dF(x).
$$

Если сравнивать результаты нескольких серий измерений одной и той же физической
величины, то наиболее точное значение будет получено в той серии, в которой кривая распределения
будет самой узкой. Чем уже кривая распределения,
тем меньше ошибка $delta = x- x_0$ отдельного измерения,
поэтому целесообразно характеризовать распределение вероятностей не только средним значением $x_0$, но и
шириной кривой распределения. Арифметическое
среднее ошибки $delta $ для этого не подходит, поскольку
оно в точности равно нулю. Для этой цели выбирают
математическое ожидание квадрата ошибки $sigma ^2,$
которое называют дисперсией
$$
sigma ^2=E(delta ^2)= int limits_{- infty}^{infty} delta ^2 p(x), dx=
int limits_{- infty}^{infty} (x-x_0)^2p(x), dx.
$$
Квадратный корень из дисперсии $sigma = sqrt{sigma ^2}$ называют средним квадратичным
отклонением распределения. Оно непосредственно характеризует ширину распределения
вероятностей — разброс измеряемых значений:
$$
sigma ^2=overline{x^2}-overline{x}^2.
$$
Наилучшим приближением истинной величины х
является так называемое выборочное среднее
значение
$$
overline{x}_N=frac 1N sum_{i=1}^{N}x_i.
$$

Вводя выборочную дисперсию $s ^2_N$,
которая определяется как среднее значение квадрата отклонений $(x_i-overline{x}_N)$ (Здесь не может идти речь об истинной ошибке
поскольку не известно истинное значение $overline{x}$):
$$
s_N^2=frac 1{N-1} sum_{i=1}^{N}(x_i-overline{x}_N)^2.
$$

Квадратный корень из выборочной дисперсии
называют выборочным стандартным отклонением $s_N.$
Оно характеризует разброс отдельных результатов
измерений вблизи среднего значения и является
наилучшей оценкой среднеквадратичного отклонения $sigma $
генеральной совокупности, которое можно определить
по выборке из $N$ результатов.

Для практического расчета выборочной дисперсии пользуются формулой:
$$
s^2_N=frac 1{N-1}left( sum_{i=1}^{N} x_i^2-frac 1N left(sum_{i=1}^{N} x_iright)^2 right) .
$$
Кроме среднего значения результатов измерений экспериментатора интересует еще и его точность. Мы
можем определить ее, несколько раз повторяя серии по $n$ измерений. Тогда величины математических
ожиданий $overline{x}_N$ образуют распределение, стандартное
отклонение которого $s_{overline{x}}$ будет характеризовать разброс
средних значений $overline{x}_N$ от выборки к выборке. Поэтому
величину $s_{overline{x}}$ называют стандартным отклонением
выборочного среднего (или его средней ошибкой).
Пользуясь законом сложения ошибок получим
$$
s_{overline{x}}=frac{s_N}{sqrt{N}}=sqrt{frac{sum_{i=1}^{N}(x_i-overline{x}_N)^2}{N(N-1)}}.
$$
Стандартное отклонение среднего, полученного по
$N$ измерениям, отличается в $frac 1{sqrt{N}}$ раз от стандартного
отклонения отдельного измерения. Таким образом,
точность измерений достаточно медленно растет с
увеличением количества измерений при больших $N.$
Поэтому нужно стремиться не к увеличению
количества опытов, а к улучшению измерительных методов,
которые позволят уменьшить стандартные отклонения
$s_N$ отдельного измерения.

Введённые границы называют доверительными границами, а интервал — доверительным интервалом. Величина статистической достоверности в каждом конкретном случае зависит от требуемой надежности измерений.

Эмпирические средние являются случайной величиной и их поведение можно описать некоторой функцией распределения относительно величины математического ожидания со своей дисперсией $s_x$ и если $x$ определено из $n$ измерений, то
$$s_x^2=frac{sigma ^2}{n}.$$
К сожалению заранее $sigma $ неизвестна и, следовательно, выражение невозможно использовать. Вместо $sigma $ используется оценка среднего квадратичного отклонения $s_n$, а величину
$$s_x=frac{sigma _n}{sqrt{n}}$$
будем называть стандартной ошибкой, причём она, в отличие от стандартного отклонения $s_n$, уменьшается с ростом числа измерений пропорционально $frac{1}{sqrt{n}}$. По этой причине нет смысла увеличивать
количество измерений после того, как величина $s_x$ станет сравнима с величиной
систематической ошибки (или точности измерительного прибора).

В идеализированном случае, когда $sigma $ точно известна, можно задать необходимую
доверительную вероятность и по соотношению
$
2Phi(t) = P,
$
определить соответствующее значение верхнего предела
$
t = t(P)
$
и утверждать, что с вероятностью $P$ отклонение измеренного значения $overline{x}$ от истинного $x$ не превышает
$$
|overline{x}-x| <t(P)frac{sigma}{sqrt{n}}.
$$
В реальности дисперсия неизвестна, а величина
$$
t=frac{overline{x}-x}{frac{s_n}{sqrt{n}}}
$$
соответствует не закону нормального распределения, а распределению Стьюдента, переходящему при $nto infty$ в нормальное распределение.

Доверительная оценка при выбранном уровне статистической достоверности $P$
в принимает вид
$$
|overline{x}-x| <t(P,n-1)frac{s_n}{sqrt{n}}.
$$
Функция $t(P, n-1),$ называемая коэффициентом Стьюдента, зависит не только от $P$, но и от числа измерений $n.$ Таблицы значений
этого коэффициента для нескольких уровней доверительной вероятности (называемых еще уровнями надежности) $P$ и различных $n$ табулированы.

1. Результаты каждого измерения записываются в таблицу.

2. Вычисляется среднее значение из $n$ измерений $$overline{x}=frac 1n sum_{i=1}^{n}x_i.$$

3. Находятся погрешности отдельного измерения $$Delta x_i=overline{x}-x_i$$ и вычисляются их квадраты $left(Delta x_i right)^2 .$

4. Определяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметического $$ Delta S_{overline{x}}=sqrt{frac{sum_{i=1}^{n}left( Delta x_iright)^2 }{n(n-1)}}. $$

5. Задается значение надежности $alpha $ (обычно выбирают одно из стандартных значений — 0,68; 0,9; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999, обычно выбирают 0,95).

6. Определяется коэффициент Стьюдента $t_{alpha n}$ для заданной на­дежности $alpha $ и числа произведенных измерений $n$ (по таблице).

7. Находится доверительный интервал (погрешность результата измерений): $$Delta x= t_{alpha n}cdot Delta S_{overline{x}}.$$

8. Если величина погрешности результата измерений $Delta x$ окажется сравнимой с величиной погрешности прибора $delta ,$ то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину $$ Delta x =sqrt{left( t_{alpha n} Delta S_{overline{x}}right) ^2+delta ^2}. $$

9. Окончательный результат записывается в виде $$ x=overline{x}pm Delta x. $$

10. Оцените относительную погрешность результата измерений $$ varepsilon = frac{Delta x}{x}cdot 100%. $$